Como se indica por Igor Rivin, el volumen de la central unitaria de grupo está dada por
$vol(U(N))=(2\pi)^{(N^2+N)/2}/\prod_{k=1}^{N-1} k!$.
El denominador es el Barnes de la función G, que es bien conocido :
http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_G-function
y, en particular, tiene un conocido Stirling-como asintótica de expansión para un gran $N$:
$\log(\prod_{k=1}^{N-1} k!) \sim$
$\frac{N^2}{2} \log N - \frac{1}{12} \log N - \frac{3}{4}N^2
+\frac{N}{2} \log(2 \pi)
+ \zeta'(-1) + \sum_{g \geq 2} \frac{B_{2g}}{2g(2g-2)} N^{2-2g}$.
Comparando con el Harer-Zagier fórmula $\chi(M_g)=\frac{B_{2g}}{2g(2g-2)}$, obtenemos
$vol(U(N))\sim$
$ - \frac{N^2}{2} \log(N) + \frac{N^2}{2}(\log(2 \pi)+\frac{3}{2}) + \frac{1}{12}
\log(N) - \zeta'(-1)-\sum_{g \geq 2} \chi(M_g) N^{2-2g}$
que, a los posibles errores tipográficos y olvidado términos, es la expansión asintótica de la pregunta.
Por supuesto, en una prueba, el hecho de que el unitaria grupos y espacios de moduli de superficies de Riemann están relacionados aparece como una coincidencia: esencialmente, hemos tomado sólo dos lugares en las matemáticas, donde aparecen los números de Bernoulli. Podemos preguntar si hay una manera más directa intrínseca de la explicación de esta relación. No creo que esa explicación es conocido a nivel riguroso de las matemáticas, pero uno es conocido a nivel de la física teórica. En general los motivos, se espera que el calibre de las teorías de grupo $U(N)$ están relacionados en el gran $N$ límite a una forma de la teoría de cuerdas. El primer argumento en esta dirección fue dado por 't Hooft en los años 70 y es la observación de que los diagramas de Feynman en perturbativa $U(N)$ teoría de gauge puede escribirse como doble-gráficos de líneas, o la cinta de opciones gráficas, que es posible obtener cerrado las superficies de la cinta de opciones de gráficos mediante el encolado de discos a lo largo de su límite de componentes, y que en algunos límite correspondiente de la serie de diagramas de Feynmann organiza como un género de expansión de estas superficies.
De hecho, es posible demostrar la Harer-Zagier relación a lo largo de estas líneas, describiendo el espacio de moduli de superficies de Riemann en términos de la cinta de opciones gráficas, la interpretación de estos cinta gráficos como la perturbativa de la expansión de algunos $N$ por $N$ de la matriz del modelo, la solución de este modelo matrix, que da algo que contiene la $\Gamma$ función y, a continuación, la expansión de la solución. En esta prueba, que se puede encontrar en el apéndice a Kontsevich del papel en Witten la conjetura, http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTOS/intersection_theory_6.pdf , la de Bernoulli números que aparecen en la Harer-Zagier fórmula realmente viene de la Stirling expansión de la $\Gamma$-función.
Hacer 't Hooft idea de hormigón es uno de los principales tema de la moderna teoría de la cuerda y puede ir en varias más o menos generales y más o menos precisa, de los nombres de: gauge/gravedad de la dualidad AdS/CFT de la correspondencia, abierto/cerrado de la dualidad, holográfico de la relación... Un ejemplo claro de que es el Gopakumar-Vafa correspondencia afirmar la equivalencia de Chern-Simons teoría de grupo $U(N)$ y el nivel de $k$ en la 3-esfera con Un modelo de la topológicos de la cadena, es decir, Gromow-Witten teoría, en el resuelto conifold, es decir, el espacio total de $\mathcal{O(-1)}\oplus {\mathcal{O(-1)}}$ sobre $\mathbb{P}^1$, con $\mathbb{P}^1$ de volumen $t=\frac{2 \pi N}{k+N}$ y con una constante de acoplamiento de cadena
$g_s = \frac{2 \pi}{k+N}$. Como el volumen de $U(N)$ aparece explícitamente en el bucle de expansión perturbativa de Chern-Simons teoría en la 3-esfera, es posible "explicar" la asymptotics expansión de estos volúmenes en términos de espacios de moduli de superficies de Riemann.
Por supuesto, todo eso no es una prueba directa de la correspondencia de los dos lados de la igualdad se utiliza a menudo como un apoyo de los físicos conjeturas, pero quería mencionarlo porque es un círculo de ideas en que la fórmula de la pregunta aparece de forma natural.
