Aplicaciones de la teoría de nudos.

Question

Una respuesta de André Henriques inspirados en los siguientes estrechamente relacionados con el CW pregunta. Partes de la siguiente se extrae de su respuesta y mis comentarios.

Regularmente me enseñan un nudo en clase de teoría. Cada vez, los estudiantes de preguntar acerca de las aplicaciones. ¿Qué debo decir?

Tengo dos improvisada respuestas de los estudiantes cuando los pida. La primera es que el nudo de la teoría es un tesoro de ejemplos para diferentes ramas de la topología geométrica, grupo de teoría, y ciertos sabores de álgebra. El segundo es una lista de ingeniería y aplicaciones científicas: desenredar el ADN, la mezcla de líquidos, y la estructura de el Sol de la corona. Estoy interesada en escuchar acerca de otras aplicaciones. Estoy también interesado en escuchar su opinión sobre las cuestiones pedagógicas involucradas. Gracias!

Answer 1

Si me pueden robar el trueno de Peter Shor, su papel, Quantum dinero de nudos (con Edward Farhi, David Gosset, Avinatan Hassidim, y Andrew Lutomirski) depende de la seguridad de su "quantum estafa de dinero" en la

la suposición de que dados dos diferentes pero equivalentes nudos, es difícil explícitamente encontrar una transformación que lleva de una a la otra.

El polinomio de Alexander juega un papel destacado en el papel.

Answer 2

Si logras convencer a tus alumnos que lisa colectores están entre las más hermosas e interesantes objetos de las matemáticas, especialmente las dimensiones 3 y 4 del modelo de nuestro universo, entonces se puede decir que (entre otras cosas) de los nudos de forma que un ingrediente fundamental en la comprensión y en la construcción de tales modelos.

Por ejemplo, se puede decir que la eliminación de un (bien elegido) nudo de $S^3$ podemos obtener la más simple posible universo con una geometría hiperbólica tener finito de volumen. O que cada 3-colector puede ser construido mediante la eliminación y "regluing" (un número finito) nudos.

Answer 3

Creo que, históricamente, uno de los grandes formal motivaciones para el nudo de la teoría eran cosas como la Brieskorn variedades, es decir, buscando soluciones a las ecuaciones de la forma

$$z_1^{p_1}+z_2^{p_2}+\cdots+z_n^{p_n} = 0$$

en $\mathbb C^n$, por diversas $p_k$. $0$ generalmente es un punto singular y una forma de estudiar es para intersecar la variedad, con una pequeña esfera centrada sobre $0$. En el $n=2$ caso de conseguir los nudos en las esferas, en muchos casos se obtienen de la homología de las esferas (a veces homotopy-esferas) anudado en las esferas. El tipo de nudo informa sobre la singularidad.

En el $n=3$ caso de conseguir las 3 dimensiones de Brieskorn variedades. Olvidando las diversas coordenadas de esta manera se expresa la Brieskorn colectores, ramificados cubriendo espacios de $S^3$ ramificados más de un nudo. Así que de nuevo nudos surgir. Mirando M. Epple del "aspectos Geométricos en el desarrollo de nudo de la teoría" al parecer esta perspectiva en ramificada de revestimientos y de los nudos se remonta a Wirthinger (1895).

Esta perspectiva está bien escrito-en Milnor de "puntos Singulares de complejo hypersurfaces" y profundizarse en Eisenbud y Neumann "en Tres dimensiones vinculación de la teoría y de los invariantes de avión curva de singularidades".

Answer 4

Una bonita débil "de la aplicación" (?conexión?) que me gusta es el la observación de que el espacio de subconjuntos de $S^1$ contiene en la mayoría de los tres elementos es homeomórficos a $S^3$. El espacio de subconjuntos de $S^1$ con $3$ elementos es generalmente denotado $\exp_3 S^1$.

$$\exp_3 S^1 \simeq S^3$$

$SO_2$ actúa en $\exp_3 S^1$ por rotación. La acción es de punto fijo libre. Considere la posibilidad de su órbita de estratificación. Hay la libre órbitas, las órbitas con la isotropía $\mathbb Z_2$ y órbitas con la isotropía $\mathbb Z_3$, y eso es todo.

Esta información es suficiente para deducir que $\exp_3 S^1$ como $SO_2$ el espacio es equivalente a $S^3 \subset \mathbb C^2$ como $SO_2$-espacio con la acción:

$$ SO_2 \times \mathbb C^2 \to \mathbb C^2$$

$$ (\alpha, (z_1,z_2)) \longmapsto (\alpha^3z_1,\alpha^2z_2)$$

aquí estoy pensando en $SO_2$ como la unidad de los números complejos.

De todos modos, el "punto alto" de este ciclo de observaciones es que la libre de las órbitas de esta acción en $S^3$ son de trébol los nudos. http://www.msp.warwick.ac.uk/agt/2002/02/p043.xhtml

Dependiendo de qué camino tomar tal vez usted no está utilizando cualquier nudo de la teoría en todo esto, pero el hecho de que no trivial de nudo surge de forma natural La OMI es bastante fresco. Creo que el trébol aparece en algunas otras ramas de las matemáticas, de manera bastante natural.

(edit: antes he dicho simétrica producto. Técnicamente el simétrica el producto es $(S^1)^3/\Sigma_3 \simeq S^3$ es homeomórficos a $D^2 \times S^1$. There is a natural onto map $(S^1)^3 / \Sigma_3 \a \exp_3 S^1$ que se derrumba el límite de toro a una banda de Moebius)

Answer 5

Colin Adams' El nudo libro analiza las siguientes aplicaciones:

• El nudo en el ADN,
• Molecular nudos,
• Mecánica estadística (por ejemplo, el modelo de Potts).

La construcción de invariantes de nudos también está relacionado con la construcción de 3d topológica de las teorías cuánticas del campo. Una buena referencia para este tipo de conexiones puede ser Kauffman los Nudos y la física. Los relacionados con la noción de una maraña que resulta estar relacionado con fracciones continuas y $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$. Hay otra conexión (que puede o no puede ser la misma conexión), que implica el atractor de Lorenz.