Sea E/Q_p sea una curva elíptica con reducción multiplicativa dividida. Entonces la uniformización de Tate da un homomorfismo suryectivo de p -grupos analíticos radicales G_m \to E con núcleo cíclico infinito. ¿Existe un análogo de este hecho para E teniendo una reducción multiplicativa no dividida, ¿quizás sustituyendo Gm por un toroide no dividido? Por ejemplo, ¿se puede uniformizar E sobre la extensión cuadrática donde se divide la reducción, y luego descender de alguna manera?
(Mi intuición era la siguiente. Tome E/Q_p con reducción multiplicativa no fraccionaria, y sea K/Q_p sea cuadrática de modo que E se convierte en divisible semiestable sobre K y que E' sea el K -giro de E (que ha dividido la reducción multiplicativa). Entonces se tiene una secuencia exacta corta
0 \to Z \to G_m \to E' \to 0
(donde Z es el grupo analítico constante de los números enteros). Extendiendo escalares a K entonces aplicando la restricción de Weil de escalares, obtenemos
0 \to X \to T \to A \to 0 ,
donde X es un grupo analítico etale-localmente-constante, T es un toroide, y A es una variedad abeliana, cada una de rango 2 en el sentido apropiado. La última sucesión exacta corta contiene a la primera sucesión exacta corta como sub (¿factor directo?); la sucesión cociente debería ser algo como
0 \to Z' \to Gm' \to E \to 0 ,
donde ' sigue denotando torsión por K/Q_p . Desde Z' tiene trivial Q_p -puntos, entonces, uno debería tener algo como G_m'(Q_p) = E(Q_p) módulo de cualquier descenso utilizado en la formación del cociente.
¿Le parece sensato?
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