¿Qué polígonos se pueden encoger en sí mismos?

Question

Vamos a llamar a un polígono $P$ retráctil si cualquier escala (dilatación) de la versión de $P$ puede ser traducido a $P$. Por ejemplo, el siguiente triángulo es retráctil (el original polígono es de color verde, la dilatación de las polígono es azul):

Pero la siguiente forma de U que no es retráctil (el azul del polígono no puede ser traducido en el verde):

Formalmente, un compacto $\ P\subseteq \mathbb R^n\ $ se llama retráctil iff:

$$\forall_{\mu\in [0;1)}\ \exists_{q\in \mathbb R^n}\quad \mu\!\cdot\! P\, +\, q\ \subseteq\ P$$

¿Cuál es el grupo más grande de retráctil polígonos?

Actualmente tengo el siguiente condición suficiente: si $P$ es en forma de estrella , entonces es retráctil.

Prueba: Por la definición de una estrella en forma de polígono, existe un punto de $A\in P$ tal que para cada $B\in P$, el segmento de $AB$ está totalmente contenida en $P$. Ahora, para todos los $\mu\in [0;1)$, vamos a $\ q := (1-\mu)\cdot A$. De esta forma, se traduce en la dilatación de las $P'$ tal que $A'$ coincide con $A$. Ahora todos los puntos de $B'\in P'$ está en un segmento entre los $A$ e $B$, y de ahí contenida en $P$.

Mis preguntas son:

A. Es la condición de ser en forma de estrella también es necesario para shrinkability?

B. por otra parte, ¿qué otra condición en $P$ es necesario?

Answer 1

Cualquier conecta polígono debe ser en forma de estrella para ser ajustada. He hecho pequeñas modificaciones a continuación a tratar el caso más general.

Deje $D$ ser un polígono con convex hull $H$. Suponga que se nos da no trivial de la reducción de $D$; ver esto como un mapa de $H$ a sí mismo. Este mapa debe tener un punto fijo $x$, ya sea por la topología algebraica o un proceso iterativo de construcción.

Esto significa que es suficiente con considerar sólo dilataciones centrada en un punto de $x$ en $H$, en lugar de dilataciones seguido por las traducciones.

Para cualquier $x$, si hay un punto de $y$ en $D$, de modo que el segmento de $x$ a $y$ no está contenido en $D$, las $(1-\epsilon)$-dilatación de $H$ centrada en $x$ no $D$ a $D$ de positivos $\epsilon$ más pequeño que algunos de $\epsilon(x)>0$. Si $D$ no es en forma de estrella, tener el mínimo $\delta$ de % de $\epsilon(x)$ sobre $x\in H$, y luego el no $(1-\delta)$-dilatación de $H$ centrada en un punto en $H$ porta $D$ a $D$.

Answer 2

Deje $\ L\ $ ser un espacio de Hilbert. Deje $\ P\subseteq L\ $ ser un no-vacío compacto subconjunto. A continuación, $\ P\ $ se llama $\ \mu$-retráctil $\ \Leftarrow:\Rightarrow$

$$\exists_{q\in L}\ \ \mu\cdot P\ +\ q\ \subseteq\ P$$

para arbitrario $\ \mu\ge 0\ $ (lo $\ \mu \le 1\ $ al $\ |P|>1$).

Deje $\ m(P)\ $ ser el conjunto de todos los $\ \mu\ge 0\ $ tal que $\ P\ $ es $\ \mu$-retráctil. Seguir a @E. S. Halevi, vamos a $\ P\ $ ser llamado retráctil $\ \Leftarrow:\Rightarrow\ \ m(P) = [0;1].\ $ Luego

TEOREMA de Las tres propiedades siguientes de un no-vacío compacto $\ P\subseteq L\ $son equivalentes:

1. P es un conjunto de estrellas;
2. P es retráctil;
3. $\ \sup (\ m(P)\cap[0;1)\ )\ =\ 1$

PRUEBA Implicaciones $\ 1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\ $ son triviales. sólo necesitamos $\ 3\Rightarrow 1.\ $, con Lo que asume la condición de $3$.

Considere la posibilidad de mapa de $\ f_\mu : x\mapsto \mu\cdot x + q_\mu,\ $ de % de $\ P\ $ dentro de sí mismo, para cada $\ \mu\in m(P)\cap[0;1).\ $, Luego por la de Banach de la fpp no existe una única $c_\mu\in P\ $ tal que $\ c_\mu = \mu\cdot c_\mu + q_\mu,\ $, de modo que $\ q_\mu = (1-\mu)\cdot c_\mu.\ $, con Lo que hay un punto límite $\ c_1\in P\ $ de una cierta secuencia de puntos de $\ c_\mu\ $ para que $ \lim \mu = 1$.

Observe que para $\ \nu:=\mu^k\ $ la composición de la $\ g_\nu:=\bigcirc^k f_\mu\ $ tiene el mismo punto fijo (voy a elegir a la mayoría de una $\ k\ $ por cada $\ \mu;\ $ también

$$\forall_{x\in L}\ \ g_\nu(x)\ =\ \nu\cdot x\ +\ (1-\nu)\cdot c_\mu$$

Ahora vamos a considerar un arbirary $\ \kappa\in[0;1).\ $ les voy a mostrar que la función de

$$\ F_\kappa\ :\ x\ \mapsto\ \kappa\cdot (x-c_1)+c_1\ \ =\ \ \kappa\cdot x\ +\ (1-\kappa)\cdot c_1$$

mapas de $\ P\ $ dentro de sí mismo (para cada una de dichas $\kappa,\ $, de modo que será el final de la prueba).

Por lo tanto vamos a $\ \epsilon > 0.\ $ Entonces no existe $\ \mu\in[0;1)\ $ natural y $\ k,\ $ tal que $\ |c_\mu-c_1|<\epsilon\ $ e $\ |\nu-\kappa|<\epsilon\ $ para$\ \nu:=\mu^k,\ $, por ende, arbitraria $\ x\in P$:

$$ |g_\nu(x)-F_\kappa(x)|\ \le\ |g_\nu(x)-F_\nu(x)|\ +\ |F_\nu(x)-F_\kappa(x)|$$

donde

$$\ |F_\nu(x)-F_\kappa(x)|\ =\ |(\nu-\kappa)\cdot x + (\kappa-\nu)\cdot c_1|\ =\ |\nu-\kappa|\cdot|x-c_1|$$

de ahora en adelante

$$|F_\nu(x)-F_\kappa(x)|\ \le\ \epsilon\cdot |x-c_1|$$

Siguiente

$$|g_\nu(x)-F_\nu(x)|\ =\ |(1-\nu)\cdot c_\mu - (1-\nu)\cdot c_1|\ =\ |1-\nu|\cdot|c_\mu-c_1|\ \le\ \epsilon$$

Estas desigualdades implica:

$$ |g_\nu(x)-F_\kappa(x)|\ \le\ (|x-c_1|+1)\cdot\epsilon$$

o

$$ |g_\nu(x)-F_\kappa(x)|\ \le\ D\cdot\epsilon$$

donde $\ D := diam(P)$

Por lo tanto para cada $\ \delta > 0\ $ deje $\ \epsilon:=\frac\delta D\ $ tal que... OK, basta de esto $\delta$-$\epsilon$ negocios, $\ F_\kappa(x)\in P$.

FINAL de la PRUEBA

COMENTARIO El teorema ofrece, no solo para los espacios de Hilbert, sino también para espacios de Banach. Uno debe ser también capaz de sustituir a las traducciones por lineal arbitraria isometrías. Yo soy curioso y esperanzador acerca de considerar este tipo de teoremas para el localmente convexo espacios lineales.

Answer 3

Aquí está mi variante, un poco más geométrico.

Denotar por $P$ el original polígono, y $P_\lambda$ contratado polígono con un factor de $\lambda \in (0,1)$ que se encuentra dentro de $P$. Tenga en cuenta que $P_\lambda$ se obtiene a partir de $P$ después de una dilatación y una traducción, y por lo tanto no existe un punto de $O_\lambda$ tal que $P_\lambda$ es la imagen de $P$ bajo una homothety $h_\lambda$ de centro $O_\lambda$ y el factor de $\lambda$.

Ahora sabemos que $h_\lambda : P \to P_\lambda \subset P$ está bien definido, continua y de la contracción. Por lo tanto, desde el $P$ es cerrado, $h_\lambda$ tiene un punto fijo en $P$, que sólo puede ser $O_\lambda$. Como consecuencia de ello $O_\lambda \in P\cap P_\lambda$.

Escoja una secuencia $\lambda_n \to 1$ y denotan $O_n = O_{\lambda_n}$. Desde $(O_n)$ está contenida en un conjunto compacto $P$, se sigue que tiene al menos un punto límite $O$. Para mantener las notaciones simples, asumimos toda la $(O_n)$ es convergente a $O$.

A partir de ahora $X \in P$ y asumir que $[OX]$ no está contenido en $P$. Entonces existe $Y \in [OX] \setminus P$. Desde $P$ está cerrado, no existe un máximo de abrir subsegmento $(X_1X_2)$ de % de $[OX]$ que contiene $Y$ y está fuera de $P$ ($X_1 \in (OY)$). Obviamente $X_1,X_2 \in P$. Por otra parte, existe un abierto de cono $C$ de la dirección dada por $(X_1X_2)$, con el ángulo y la longitud de la $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño, que contiene $(X_1X_2)\cap B(X_2,\varepsilon)$, y no se cruzan $P$. Esto sucede desde $P$ es un polígono y el exterior de $P$ cerca de $X_2$ es un ángulo o un semiplano. Considere ahora $Z_n = h_{\lambda_n}(X_2)$. Por hipótesis tenemos $(Z_n) \subset P$.

Desde $O_n \to O$, para $n$ bastante grande el ángulo de $\angle O_nX_2O$ será menor de lo $\varepsilon/2$. Desde $O_nZ_n = \lambda_n O_nX_2$ e $\lambda_n \to 1$ puntos $Z_n$ se encuentran en el cono $C$ para $n$ lo suficientemente grande. Esto contradice el hecho de que $Z_n$ es de $P$.

Por lo tanto, $P$ es en forma de estrella con respecto a $O$.

Answer 4

Si entiendo la pregunta correctamente, el requisito es para una figura, F, tal que exista una traducción T (c) para todas las contracciones c, de modo que cF + T (c) se encuentre dentro de F. Me parece que ese criterio es válido para hexágonos monoconvexos (galones) y hexágonos biconvexos (relojes de arena), que no son estrellas.