¿Cuál es el significado real de una derivada fraccionaria?

Question

Estamos acostumbrados a ver operadores diferenciales de la forma $\frac{d}{dx}^n$ donde $n\in\mathbb{Z}$. Pero me he dado cuenta de que esto se generaliza a todos los números complejos, formando un campo llamado cálculo fraccional que aparentemente incluso tiene aplicaciones en física.

Estas derivadas se definen como iteradas fraccionarias. Por ejemplo, $(\frac{d}{dx}^\frac{1}{2})^2 = \frac{d}{dx}$ o $(\frac{d}{dx}^i)^i = \frac{d}{dx}^{-1}

Pero no logro encontrar una definición o descripción más significativa. La derivada significa algo para mí; estas solo tienen definiciones muy abstractas. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Entiendo de dónde viene Ryan, aunque creo que la pregunta de cómo interpretar el cálculo fraccionario sigue siendo válida. Encontré este artículo bastante interesante, aunque no tengo ni idea si hay interpretaciones mejores por ahí.

http://people.tuke.sk/igor.podlubny/pspdf/pifcaa_r.pdf

Answer 2

Personalmente, si entrara en este tema a ciegas, me sentiría estafado si no se mostrara el extenso poder matemático puro de la derivada fraccional. Siendo que es más útil que solo ser utilizado para resolver ecuaciones diferenciales o problemas físicos.

Lo primero es mirar la fórmula integral de Cauchy que es más adecuada

$$\int_a^x \int_a^{x_{n-1}}...\int_a^{x_1}f(x_0)\,dx_0dx_1dx_2...dx_{n-1} = \frac{1}{n-1!}\int_a^x f(y)y^{n-1}\,dy$$

que es una ecuación sorprendentemente potente. La generalización natural surge al considerar el operador $I_a f = \int_a^x f(y)\,dy$ y simplemente escribir $$I_a^n =\underbrace{ I_a ... I_a}_{n \text{ veces}} f = \frac{1}{(n-1) !}\int_a^x f(y)y^{n-1}\,dy$$

donde una conclusión natural es definir

$$I_{a}^z f = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_a^x f(y)y^{z-1}\,dy$$

que a través de ningún método evidente o simple

$$I_a^{z_0}I_a^{z_1} = I_a^{z_0 + z_1}$$

Esto no solo nos da una integral "fraccional" iterada sino infinitas para cada $a$. El resultado perspectivo, o hecho canónico, es que cada integral fraccional satisface

$$I_a^z (x-a)^r = \frac{\Gamma(r+1)}{\Gamma(r+z+1)}(x-a)^{r+z}$$

y $I_a (x-b)^r$ cuando $b \neq a$ se define usando una expansión binomial.

Definiendo $\frac{d}{dx}_a^z = I_a^{-z}$ para $\Re(z) < 0$ y $\frac{d}{dx}_a^z = \frac{d}{dx}^n I_a^{n-z}$ para $\Re(z) < n$ llegamos a una derivada fraccional.

Esta expresión aparentemente conveniente y hermosa nos da algo bastante feo. Dado que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ nos gustaría que $\frac{d}{dx}^z e^x = e^x$, pero no es así. Por convergencia uniforme y todo eso

$$\frac{d}{dx}_a^z e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n-z}}{\Gamma(n+1-z)}$$

que no es $e^x$.

Por lo tanto se requiere otra derivada fraccional. Tomando $a = -\infty$ entonces llegamos a la llamada comúnmente "diferintegral exponencial" que puede escribirse

$$\frac{d}{dx}^{-z} f(x) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty f(x-y)y^{z-1}\,dx$$ definida para $f$ que cumple condiciones de decaimiento específicas en menos infinito. Como se puede ver esta derivada fraccional arregla $e^x$ pero diverge para cualquier polinomio.

¡Ahora podemos generalizar esto aún más!

Consideremos $f(w)$ entera en $\mathbb{C}$, y por conveniencia asumamos que $f(w)w \to 0$ cuando $w \to \infty$ cuando $|\arg(w)| < \kappa$ y llamemos a este espacio de funciones $D_\kappa$

Entonces tenemos la fórmula desastrosamente grande

$$\frac{d^z}{dw^z} f(w) = \frac{e^{i\theta z}}{\Gamma(-z)}\Big{(}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(w)\frac{(-e^{i\theta})^n}{n!(n-z)} + \int_1^\infty f(w-e^{i\theta}y)y^{-z-1}\,dy\Big{)}$$

que se cumple para todo $|\theta| < \kappa$ y $\Re(z) > -1$.

Algunas personas podrían pensar imprudentemente ¿cuál es el punto de esto? Algunas cosas interesantes suceden en este escenario, en primer lugar la diferintegral se puede pensar como una transformada de Mellin modificada. Dándonos cosas como el teorema maestro de Ramanujan en una notación más elegante. Además enfatiza que este operador surge en un sentido muy natural (la transformada de Mellin siendo prominente en muchas áreas de las matemáticas). Dice que $\frac{d^z}{dw^z}$ para $\Re(z) > 0$ lleva $D_\kappa$ a sí mismo. Así que tenemos un semigrupo $\{\frac{d^z}{dw^z} | \Re(z) > 0\}$ actuando sobre $D_\kappa$.

Además, al observar la definición de la transformada de Fourier de una derivada fraccional, en realidad es esta derivada exponencial de aspecto torpe la que realmente maneja todo. Donde puede parecer más limpio en las transformadas de Fourier, es mucho más general en su forma de Mellin.

En definitiva, es un objeto bastante misterioso y es subutilizado en mi opinión.

Answer 3

Si uno resuelve problemas de difusión, magnéticos o térmicos, mediante el uso de la transformada de Laplace, se obtienen potencias fraccionarias de s. Normalmente s denota la primera derivada con respecto al tiempo e interpreto s elevado a una potencia fraccionaria como una derivada fraccionaria con respecto al tiempo. Esto ocurre en todos los cálculos de efecto piel y no es un problema si se tiene un programa que invierta la transformada de Laplace. Creo que la formación de hielo sobre el agua es un ejemplo físico directo de que el grosor del hielo es proporcional a la derivada de 1/2 con respecto al tiempo.

Answer 4

Probabilísticamente, puedes dar un significado perfectamente claro a muchas derivadas fraccionarias.

Examinaré definiciones de derivadas fraccionarias no locales que son generadores de procesos estocásticos con saltos. Espero convencer al lector de que

• Surgen naturalmente diferentes definiciones,
• hay una interpretación clara de muchas propiedades (como la no localidad o las constantes de absorción/no absorción), y
• las generalizaciones son naturales y significativas para las aplicaciones.

Es útil observar el proceso de salto estocástico más simple y su generador correspondiente. Toma una cadena de Markov $P=\{p_{i,j}\}_{i,j\in \text{Espacio de estados}}$ (que es intrínsecamente saltarina) y escribe su generador
$$ \mathcal G f(x):=(P-I)f(x)=\sum_{y\in\text{ Espacio de estados}}(f(y)-f(x))p_{x,y},\quad x\in\text{ Espacio de estados}. $$ Aquí la intuición es clara: el salto infinitesimal (trabajando con tiempo unitario en este caso) de $x$ a $y$ se asigna una intensidad/probabilidad $p_{x,y}$. El operador $\mathcal G$ es no local. Si modificamos el proceso (imponemos condiciones de frontera), digamos forzando que el proceso se absorba en $a\in\text{ Espacio de estados}$ una vez que intenta saltar a un estado $y\notin \Omega\subset \text{Espacio de estados},$ obtenemos un nuevo generador $$ \mathcal G^{\text{abs}} f(x):=(P^{\text{abs}}-I)f(x)=\sum_{y\in\Omega}(f(y)-f(x))p_{x,y}+(f(a)-f(x))\sum_{y\notin\Omega}p_{x,y},\quad x\in\Omega. $$ Si en cambio decidimos eliminarlo (mediante la prueba contra funciones con $f(a)=0$, por ejemplo), el nuevo generador será $$ \mathcal G^{\text{kill}} f(x):=(P^{\text{kill}}-I)f(x)=\sum_{y\in\Omega}(f(y)-f(x))p_{x,y}-f(x)\sum_{y\notin\Omega}p_{x,y},\quad x\in\Omega. $$ Así que a partir de un solo proceso podemos obtener muchos generadores/derivadas fraccionarias diferentes (como se mencionó en un comentario anterior, las condiciones de frontera se reflejan en la representación del operador lejos de la frontera debido a la no localidad de $\mathcal G$).

Ahora pasemos a las derivadas de Riemann-Liouville y Caputo de orden $\beta\in(0,1)$. Considera las tres derivadas fraccionarias para $x \begin{align} D^{\beta}_{\infty}f(x)&:= \int_0^{\infty}(f(x+y)-f(x))\nu(y)dy, \\ ^{C}D^{\beta}_a f(x):&= \int_0^{a-x}(f(x+y)-f(x))\nu(y)dy &+(f(a)-f(x))\int_{a-x}^\infty\nu(y)dy,\\ ^{RL}D^{\beta}_af(x)&:= \int_0^{a-x}(f(x+y)-f(x))\nu(y)dy &-f(x)\int_{a-x}^\infty\nu(y)dy, \end{align} donde $\nu(y):=\frac{-\Gamma(-\beta)^{-1}}{y^{1+\beta}}$. Similarmente a la cadena de Markov anterior: el operador $D^{\beta}_{\infty}$ es el generador de un subordinador $\beta$-estable $X^\beta(s)$, el operador $^{C}D^{\beta}_a$ es el generador de un subordinador $\beta$-estable $X^\beta(s)$ absorbido en $\{a\}$ en el primer intento de saltar fuera de $\Omega:=(-\infty,a)$, y el operador $^{RL}D^{\beta}_a$ es el generador de un subordinador $\beta$-estable $X^\beta(s)$ eliminado en el primer intento de saltar fuera de $\Omega:=(-\infty,a)$. Integrando por partes podemos reescribir los tres operadores anteriores en su representación de integral de Riemann-Liouville, a saber \begin{align} D^{\beta}_{\infty}f(x)&= \int_x^{\infty}f'(y)\frac{(y-x)^{-\beta}}{\Gamma(1-\beta)}dy \\ ^{C}D^{\beta}_a f(x)&= \int_x^{a}f'(y)\frac{(y-x)^{-\beta}}{\Gamma(1-\beta)}dy,\\ ^{RL}D^{\beta}_af(x)&= \frac{d}{dx}\int_x^{a}f(y)\frac{(y-x)^{-\beta}}{\Gamma(1-\beta)}dy, \end{align} donde los dos últimos operadores son tus definiciones estándar de derivadas de Caputo y Riemann-Liouvile (las versiones derecha e izquierda corresponderán a los procesos $X^\beta(s)$ y $-X^{\beta}(s)$ respectivamente). Ahora podemos decir que la derivada de Caputo $^{C}D^{\beta}_a$ (derivada de Riemann-Liouville $^{RL}D^{\beta}_a$) elimina (no elimina) constantes ya que es el generador de un proceso (proceso eliminado). Nuevamente puedes ver que (naturalmente) $^{C}D^{\beta}_a$ y $^{RL}D^{\beta}_a$ contienen información de frontera en su representación lejos de la frontera (en clara diferencia con los operadores diferenciales locales). Algunas referencias: Derivadas de Caputo, Riemann-Liouville, y Grünwald-Leitnikov desde un punto de vista estocástico en este libro. Condiciones de frontera reflejantes y otras opciones para derivadas de Caputo de orden $\beta\in(1,2)$ aquí y aquí.

Al sustituir una medida de Lévy general $\nu(x,dy)$ en las fórmulas anteriores (generalizando derivadas fraccionarias), se pueden estudiar muchos procesos estocásticos significativos y sus versiones en un dominio limitado a través de sus generadores (ver libro, artículo ). Argumentos similares se pueden aplicar para algunos laplacianos fraccionarios (ver este libro por ejemplo).

Answer 5

La derivada fraccional surge en problemas de difusión como notó el problema anterior. La ecuación de Abel de la tautócrona es otro ejemplo clásico. La interpretación física aún es debatible, pero a menudo se atribuye a efectos de memoria o comportamientos fractales subyacentes que dan lugar a leyes de potencia. Las referencias clásicas son Oldham and Spanier 1974 (https://www.amazon.com/Fractional-Calculus-Mathematics-Science-Engineering/dp/0125255500/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1469461451&sr=1-1&keywords=Oldham+and+Spanier+1974), Podlubny (https://www.amazon.com/Fractional-Differential-Equations-198-Introduction/dp/0125588402/ref=sr_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1469461515&sr=1-2&keywords=Podlubny), Kilbas and Marichev (https://www.amazon.com/Fractional-Integrals-Derivatives-Theory-Applications/dp/2881248640) etc.