¿Por qué los fundacionalistas categóricos quieren escapar de la teoría de conjuntos?

Question

Esta es una pregunta que he visto preguntó de forma pasiva en los comentarios relativos a la separación de la categoría de la teoría de la teoría de conjuntos, pero no he visto que se abordan en su totalidad.

Sé que es posible formular una categoría de la teoría dentro de la teoría de conjuntos, mientras que todavía siendo albe para la construcción de las cosas más útiles que quiere de la categoría de teoría. Por lo que tengo entendido, todas las matemáticas que implica la categoría de teoría se puede realizar siempre y cuando un poco de precaución se toma.

También sé que algunas personas (categórica foundationalsists) todavía desea formular la categoría de teoría, sin uso o referencia a la teoría de conjuntos. Aunque admito que tengo curiosidad acerca de esto por curiosidad, no estoy seguro de si hay cualquier práctica motivaciones para hacer esto. La única razón para querer categoría separada de la teoría de la teoría de conjuntos que he leído acerca de que es por el bien de la `autonomía de la categoría de teoría".

Así que mi pregunta es doble: ¿Qué otros motivos podría categórica foundationalists tienen para la separación de la categoría de la teoría de la teoría de conjuntos, y lo que a efectos prácticos podría servir para hacer esto?

Answer 1

Sinceramente, creo que "ingenuo categoría de la teoría" (análogo a la "ingenua teoría de conjuntos") ayuda a entender/no recuerda/matemáticas mucho más de lo que hace la teoría de conjuntos. Y, ya que no tengo la intención de hacer "formal" de la categoría de teoría, yo no se preocupe acerca de sus fundamentos.

Tengo algún conocimiento de la Lawvere fundacional programa y afines... pero mi propia reacción a la teoría de conjuntos como obligatoria de la fundación (a pesar de tener un gran entusiasmo por parte de las fundaciones en mi juventud) es que no ayuda nada.

En un punto diferente de matemática de la historia, tal vez era razonable que preocuparse de que la teoría de conjuntos fue demasiado volátiles, o que las matemáticas más generalmente era tan volátil que el extremo de la teoría de la escrupulosidad, era el único camino seguro, pero por ahora, muchos de los imaginaba peligros parecer no se dio cuenta.

Y, si uno hace insistir en fundaciones, creo que la categoría de la teoría es más dinámico, útil, provechoso punto de vista de la teoría de conjuntos. Categoría de la teoría habla sobre qué cosas hacer, en lugar de los átomos de los que están compuestas.

Answer 2

No estoy de acuerdo que esto es lo que (más) categorists que están interesados en las fundaciones están haciendo.

Es cierto que Lawvere en los a mediados de los 60 (y tal vez para este día) quería desarrollar una teoría de categorías independientes de la teoría de conjuntos, pero no creo que representa el empuje principal del moderno-día categórica trabajo en "fundaciones". Mucho más trabajo se ha dirigido hacia el desarrollo de una completa categórico de la teoría de los conjuntos, como en Lawvere de la Teoría Elemental de una Categoría de Conjuntos y las extensiones de los mismos, o la comprensión de la teoría clásica de conjuntos, tales como ZF a través de una categórica de la lente, como en Algebraicas Teoría de conjuntos. Asimismo, se desarrolla la discusión de lo que la fuerza de la teoría de conjuntos es adecuado para hacer lo que la categoría de los teóricos gustaría hacer. Como se puede ver, incluso con un casual lectura de esta obra, no hay ningún antagonismo en contra de la teoría de conjuntos por sí, o por un deseo de conseguir de alguna manera lejos de conjuntos.

Creo que la confusión puede provenir de los más apresurada identificación de la teoría de conjuntos con un "canonizado" la forma de la teoría de conjuntos, tales como ZFC (o algo en que la familia, como Gödel-Bernays teoría de conjuntos), basado en un único predicado binario llamado "pertenencia". Ordinario ZFC, un conjunto se caracteriza por su pertenencia a árbol, de manera que los elementos de los conjuntos son conjuntos de sí mismos, que poseen su propia estructura interna. A esto se le llama un "materialista" forma de la teoría de conjuntos (material, ya que los elementos de los conjuntos son considerados como "sustancia"). Si hay antagonismo hacia este tipo de conjunto de la teoría por parte de algunos teóricos de la categoría, es porque se presta a una concepción de "conjunto" que es irrelevante para la práctica real de núcleo de matemáticas, en la medida en que los matemáticos no importa de qué elementos está hecho".

Las tendencias dominantes de la práctica de matemáticas hoy en día y durante la mayor parte del siglo xx para promover un "estructuralista" de la vista: que lo que cuenta no es lo que los elementos de una estructura de "se" en particular, sino más bien de cómo están relacionados entre sí en una estructura, y donde dos estructuras se consideran de manera abstracta la misma si son isomorfos. Esto parece una perogrullada hoy en día, pero es precisamente esta visión la que las unidades de una manera más categórica-mente a la vista, la cual mira hacia no lo establece "son", sino de cómo los usamos, qué construcciones abstractas que queremos realizar sobre ellos, y así sucesivamente. Así, conceptos tales como "juego de poder" en este punto de vista más relevante capturado por conveniente propiedades universales que sirven para caracterizar su estructura hasta especificado isomorfismo. Una teoría de los conjuntos que se toma este punto de vista serio y axiomáticamente que puede llamarse una "estructural de la teoría de conjuntos".

Por lo tanto el contraste real entre "material" y "estructural" de las teorías de conjuntos, con la categoría de los teóricos tienden a preferir estructural de la teoría de conjuntos. Un ejemplo de este tipo es Lawvere de la mencionada Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS). Una forma diferente y más reciente ejemplo es el de Mike Shulman SEAR (Conjuntos, Elementos y Relaciones), que se puede leer en el nLab.

Como para que los beneficios de la práctica de estructuralista la teoría de conjuntos: son enormes! Debe tenerse en cuenta que la primaria topos teoría se inspira en gran parte por Lawvere la visión de que Grothendieck toposes sí mismos el modelo de la mayoría de los axiomas de la clase estructuralista de la teoría de conjuntos él estaba investigando en ETCS, y esto ha sido revolucionario. La respuesta a esto es ya lo suficiente, así que no voy a entrar en una discusión de la que aquí.

Answer 3

Mi opinión puede no ser de interés para los lectores de aquí, ya que yo soy un físico de formación y como tal estoy más interesado en cómo las matemáticas y la realidad se juntan. Dicho esto, es posible que mi viaje a través de los fundamentos de la matemática, entrelazado con un interés en la gravedad cuántica, y especialmente los antecedentes de la independencia, tal vez, arroja luz en ambas direcciones. Después de todo, la física ha sido conocido para introducir ideas interesantes de las matemáticas.

Creo que la respuesta corta a la pregunta de categorías, los conjuntos y los fundamentos viene, como Todd señaló, significado intrínseco frente relacional significado. Por ejemplo, entiendo que un functor de a a B a ser la de dar sentido a algunos de la colección de objetos de tipo a en términos de objetos y morfismos de tipo B. esto contrasta con algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos:

1. Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos

Confiamos en algunos básica "conocimiento" de los significados de los términos. Este significado es proporcionada por el lector. Por lo tanto, estamos de acuerdo en el significado de los términos.

Esto se relaciona con la física de la siguiente manera. Si yo fuera Dios, pude ver el universo desde el exterior. Como si estuviera leyendo que el axioma 1, me gustaría dar sentido a todos los aspectos del universo. Esto contrasta con la mucho más realista punto de vista de los seres humanos que son decididamente incrustado en el universo. En este caso, el significado no proviene de un visor externo (la mirada de Dios en el conjunto de todos los conjuntos), sino más bien en cómo un cambio en un sistema induce un cambio en otro sistema. Pensemos, por ejemplo, de una estrella distante, el colapso de los millones de años atrás y girando ligeramente rojizo. Este evento se interpreta en la tierra en dos placas fotográficas, o por una cadena de bits de ser volteado de "blanco" a "rojo".

En lugar de utilizar Conjuntos, los cuales vienen con una especie de pre-arreglado el significado, la física busca utilizar una relación causal. Además, esta relación causal es visto como morfismos en una categoría. Hasta que vayamos en términos de la estructura de la nada pero "morfismos estructura" a la Categoría de Una estructura. El "significado" en cada paso por la forma en la fase anterior se interpreta en la última fase.

Más específicamente, en la física que no puede permitirse el lujo de construir en los fundamentos de la física de la ontología de la teoría de conjuntos simplemente porque parece como una base para hacer las matemáticas nos encanta.

Answer 4

Todd Trimble está en lo cierto: no todos los categoriests que están interesados en las fundaciones rechazar la teoría de conjuntos. A mí me parece que la categoría y de la teoría de conjuntos están profundamente interrelacionados. Categórica problemas, como la existencia de algunos adjunto functors depende de algunas terminaciones de ZFC. Por ejemplo, la declaración de cada subcategoría cerrado bajo los límites de un local presentable categoría es reflexiva (es decir, la inclusión functor ha dejado adjunto) es equivalente a un conjunto teórico declaración llamado Vopenka principio (véase J. Adamek, J. Rosicky, Localmente presentable y accesible categorías, Londres Matemáticas. Soc. Lect. Notas, Cambridge University Press, 1994). Hay un montón de este tipo de problemas, los cuales dependen de las extensiones de ZFC, tanto en la categoría de teoría, sino también en otros aspectos matemáticos que se formulan categórica por ejemplo, la Whitehead problema en abelian grupo de teoría: Es cierto que cada grupo abelian que no tiene trivial extensiones a través de $\mathbb Z$ es proyectiva (gratis)?

Answer 5

Una razón podría ser que algunas construcciones y teoremas en la categoría de teoría de la necesidad más fuerte de los axiomas que acaba de ZFC (el habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos). Por ejemplo, uno podría considerar "functor categorías," que no existen en ZFC, a menos que la categoría de dominio es pequeño.

Además, la habitual caracterización de la "equivalencia de categorías depende de la clase de elección, que es más fuerte que acaba de CA.

No he escuchado el término "categórica fundacionalista" antes, sin embargo, esto es sólo especulación.