¿Es este lema en álgebra lineal elemental nuevo?

Question

Es cualquiera que esté familiarizado con el siguiente, o algo parecido?

Lema. Supongamos que $A$, $B$ son cero finito-dimensional espacios vectoriales más de un infinito campo de $k$, e $V$ un subespacio de $A\otimes_k B$ tal que

(1) Para cada valor distinto de cero $a\in A$ existe un valor distinto de cero $b\in B$ tal que $a\otimes b\in V$,

y de la misma manera,

(2) Para cada valor distinto de cero $b\in B$ existe un valor distinto de cero $a\in A$ tal que $a\otimes b\in V$.

Entonces

(3) $\dim_k(V) \geq \dim_k(A) + \dim_k(B) - 1$.

Observaciones: La idea de (1) y (2) es que los espacios de $A$ e $B$ son mínimos por "apoyar" $V$; es decir, si se sustituye la $A$ o $B$ por cualquier homomórfica de la imagen, y hacemos un mapa de $A\otimes B$ en la manera obvia en el nuevo producto tensor, luego de que el mapa se no ser uno-uno en $V$. El resultado es equivalente a decir que si uno es dado un número finito de dimensiones subespacio $V$ de un producto tensor $A\otimes B$ arbitraria de espacios vectoriales, entonces uno puede reemplazar $A$, $B$ por las imágenes cuyas dimensiones se suma a $\leq \dim(V) + 1$ sin lastimar a $V$.

En el lexema como se ha dicho, si damos por $A$ un espacio dual $C^*$, y interpretar $A\otimes B$ as $\mathrm{Hom}(C,B)$, entonces la hipótesis de nuevo significa que $C$ e $B$ son mínimos, ya que los espacios de "apoyar" $V$, ahora como subespacio de $\mathrm{Hom}(C,B)$; es decir, que la restricción a cualquier subespacio de $C$, o la asignación a cualquier imagen homomórfica de $B$, reducir la dimensión de la $V$.

En la declaración de la lema, donde supuse $k$ infinito, Yo realmente sólo necesitan su cardinalidad de al menos el más grande de $\dim_k A$ e $\dim_k B$.

La prueba es más difícil de lo que yo hubiera pensado; mi escrito es de 3.3 K. Voy a ser feliz de mostrar si el resultado es nueva.

Answer 1

Este es un buen lema: sé una buena cantidad de resultados similares, pero esta es desconocido para mí.

Creo que es adecuado, como una respuesta, para dar una prueba de que funciona con ningún tipo de restricción a la cardinalidad del campo subyacente $F$. Me servirá de marco para la respuesta en términos de la matriz de los espacios. Así, tenemos un subespacio lineal $V \subset M_{n,p}(F)$ tal que, para cada no-vector cero $X \in F^n$, el espacio de $V$ contiene un rango de $1$ matriz de la columna con el espacio $F X$ y, para todos los no-vector cero $Y \in F^p$, el espacio de $V$ contiene un rango de $1$ matriz con una fila de espacio $F Y^t$. Tenga en cuenta que los supuestos sin cambios en la multiplicación de $V$ por invertible matrices (ya sea a la izquierda o a la derecha).

La prueba de que funciona por inducción en $p$. En el caso de que $p=1$ o $n=1$ es obvia. Supongamos ahora que $p>1$ e $n>1$. La discusión se divide en dos casos, donde el estándar de la base de $F^p$ es denotado por $(e_1,\dots,e_p)$.

Caso 1: $V e_p=F^n$. Entonces, uno escribe cada matriz $M$ de % de $V$ como $M=\begin{bmatrix} A(M) & C(M) \end{bmatrix}$ where $A(M) \en M_{n,p-1}(F)$ and $C(M) \in F^n$. Con nuestra hipótesis, nos encontramos con rango de $1$ matrices $M_1,\dots,M_{p-1}$ en $V$ con la fila respectiva espacios de $F e_1^t,\dots,F e_{p-1}^t$. A continuación, $M_1,\dots,M_{p-1}$ son linealmente independientes, y todos pertenecen a el núcleo de $V \ni M \mapsto C(M)$. Utiliza el rango teorema, uno deduce que $\dim V \geq (p-1)+\dim C(V)=(p-1)+n$.

Caso 2 : $V e_p \subsetneq F^n$. Multiplicando $V$ a la izquierda por un bien elegido invertible la matriz, nosotros no perder generalidad en suponer que la $V e_p \subset F^{n-1} \times \{0\}$. En otras palabras, cada matriz $M$ de $V$ puede ser escrito como $$M=\begin{bmatrix} A(M) & C(M) \\ R(M) & 0 \end{bmatrix}$$ donde $A(M)$ es $(n-1) \times (p-1)$ matriz, $R(M)$ es una fila de la matriz y $C(M)$ es una columna de la matriz. Luego, se nota que $A(V)$ satisface el mismo conjunto de supuestos como $V$: en efecto, si tomamos un valor distinto de cero de la fila $L \in M_{1,p-1}(F)$, entonces sabemos que $V$ contiene un rango de $1$ matriz $M_1$ cuyo fila espacio es atravesado por $\begin{bmatrix} L & 1 \end{bmatrix}$. Obviously the last row of $M_1$ is zero whence $A(M_1)$ no es cero y su fila espacio está incluido en $F L$. Uno funciona del mismo modo para obtener la parte restante de la condición. Así, por inducción que uno encuentra $$\dim A(V) \geq (n-1)+(p-1)-1.$$ Finalmente, sabemos que la $V$ debe contener un valor distinto de cero de la matriz $M_2$ con $A(M_2)=0$ e $C(M_2)=0$, y que debe contener un valor distinto de cero de la matriz $M_3$ con $A(M_3)=0$ e $R(M_3)=0$. Obviamente, $M_2$ e $M_3$ son vectores linealmente independientes en el kernel de $V \ni M \mapsto A(M)$. Utiliza el rango teorema, uno llega a la conclusión de que $$\dim V \geq 2+\dim A(V) \geq 2+(n-1)+(p-1)-1=n+p-1.$$