¿Por qué son equivalentes los sistemas locales y las representaciones del grupo fundamental?

Question

Mi pregunta: sea X una lo suficientemente 'bonito' espacio topológico. A continuación, hay una equivalencia entre las representaciones de el grupo fundamental de X y los sistemas locales en X, es decir, las poleas en X localmente isomorfo a un constante gavilla. ¿Alguien sabe de un autónomo, tratamiento detallado de esta adecuado para mi fondo? He mirado en las primeras páginas de Delignes "Équations différentielles à puntos singuliers réguliers" (que a mi asesor me sugirió tomar un vistazo a), pero aquí se dice que la equivalencia es "bien conocido", sin dar ninguna referencia. Ni buscando en google ("local de los sistemas de representaciones fundamentales del grupo") (nada utilizable viene), wiki ni la nLab entrada (no se detallan claramente insuficiente y se interesan más en la generalización) en los sistemas locales fueron de mucha ayuda para mí. Te pido disculpas en caso de que la equivalencia debe obvio una vez que uno sabe acerca de universal cubriendo espacios/cubierta de transformaciones. No he aprendido aún. Si es así, por favor hágamelo saber.

Por qué me importa: estoy tratando de leer los Simpsons "de Higgs paquetes y sistemas locales",. Publ. De matemáticas. I. H. E. S. 75 (1992) 5-95". Simpson se supone que esta equivalencia, pero no da referencias.

Si hay alguna manera esta pregunta podría ser mejorada, por favor hágamelo saber.

Siéntase libre de volver a etiquetar.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que la correspondencia entre las representaciones de el grupo fundamental(oid) y localmente constante poleas no está muy bien documentada en la bibliografía básica. Cada vez que viene con mi los estudiantes, me acaban de tener a sketch it out en la pizarra. Sin embargo, mi recuerdo es que Spanier de la Topología Algebraica da la correspondencia como un conjunto de ejercicios con sugerencias. En cualquier caso, una dirección es fácil de describir como sigue. Supongamos que $X$ es una buena conectado espacio X (por ejemplo, un colector). Deje $\tilde X\to X$ denotar su cobertura universal. Dada una representación de su fundamental $\rho:\pi_1(X)\to GL(V)$, uno puede formar la gavilla de las secciones del haz de $(\tilde X\times V)/\pi_1(X)\to X$. Más explícitamente, las secciones de la gavilla más de U puede ser identificado con las funciones continuas $f:\tilde U\to V$ satisfactorio $$f(\gamma x) = \rho(\gamma) f(x)$$ para $\gamma\in \pi_1(X)$. Este haz se puede comprobar a ser localmente constante. Esencialmente el mismo procedimiento se obtiene un plano vector paquete, es decir, un vector paquete con localmente constante transición de las funciones. Este es otro objeto equivalente a una representación del grupo fundamental.

Con respecto a tu otro comentario, tal vez yo debería hacer hincapié en que la Narasimhan-Seshadri correspondencia entre estable vector de paquetes de grado 0 y irreductible unitario de representaciones de el grupo fundamental. El paquete se construye como se ha indicado anteriormente. De todos modos, esto suena como una buena tesina problema. La diversión.

Answer 2

El nuevo libro de Tamas Szamuely "Grupos de Galois y grupos fundamentales"

http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2548205

contiene una prueba de este resultado y está excelentemente escrito, comenzando desde cero.

Answer 3

Las notas de Pramod Achar (de una conferencia en un curso que enseñó sobre poleas perversas) son dos páginas.

Answer 4

Esta es una vieja correspondencia por deligne. se puede encontrar en los libros como:

Voisin: teoría de Hodge y compleja geometría algebraica I Sabbah: Isomonodromic deformaciones y colectores de Frobenius Kobayashi: Geometría vectorial complejo haces

Es cierto para los sistemas locales con coeficientes complejos. La imagen aproximada es este:

Un plano de conexiones es equivalente a un sistema local y el transporte paralelo de esta conexión en un bucle sólo depende del bucle, por lo que le da un represenation del grupo fundamental.

Una representación de la república de el grupo fundamental de X define un vector complejo paquete de rango r via X x C^{r}/~ (fibras identificados por rep). Esto lleva a un nuevo plano de la conexión.

Answer 5

Capítulo 5 de James F. Davis y Paul Kirk, Lecture Notes in Algebraic Topology (AMS, Graduate Studies in Mathematics 35 ).