¿El avance de Bourgain-Demeter-Guth y la función zeta de Riemann?

Question

Ayer Bourgain, Deméter y Guth publicado un preprint demostrar (a los extremos) el llamado principal de la conjetura de la Vinogradov del Valor medio Teorema para todos los grados. Este había sido previamente conocido sólo de grado 3 por el trabajo de Wooley. Ver esta encuesta de Wooley para una mayor discusión.

Parece ser que el folclore que una prueba de esta conjetura debe implican mejoras en los límites de la Riemann zeta función / una mejora de cero región libre para la función zeta / un mejor término de error en el teorema de los números primos (entre otras cosas, como el progreso de Waring del problema). Estos, por supuesto, son algunos de los más preciados de los problemas en la teoría analítica de números y han sido atrapados por décadas.

Dicho esto, a lo mejor de mi conocimiento, no hay caja negra de reducción para estas aplicaciones y probablemente también necesita más información explícita acerca de la dependencia de las constantes de varios parámetros en estos resultados para llegar a estas aplicaciones.

¿Cuál es el potencial de estos métodos? En otras palabras, ¿cuáles son las implicaciones de la más optimista de las dependencias en el valor medio teorema (o generalizaciones posibles)?

(Ver aquí y aquí para discusión adicional).

Answer 1

Con respecto al avance reciente, Bourgain los estados en este preprint:

Con respecto a las aplicaciones de la zeta-función de nuestro trabajo, tal y como está ¿ no llevar a un mayor progreso. La razón de esto es que no nos explorar el efecto de la gran $k$ (posiblemente dependiendo $N$) y en el presente formulario es probablemente muy baja. Un comentario similar se aplica a Wooley del enfoque

Esto también se discute en Ford papeles Vinogradov Integral y Límites para la Riemann Zeta Función, Cero Regiones Libres de la de Riemann Zeta Función, donde dice:

Por último, hemos de indicar cuál es el límite de nuestro método, es decir, lo que podría lograrse con [una versión de Vinogradov del Valor medio Teorema]... [esto] los rendimientos Teorema $1$, con una constante de $B=\sqrt{2}+\epsilon$ (válido para $\sigma\geq\frac{15}{16}$) donde $\epsilon$ puede ser tomado arbitrariamente pequeño.

Aquí Teorema $1$ es la desigualdad $$\zeta(\sigma+it)\leq A t^{B(1-\sigma)^{3/2}}\log^{2/3}t\ \ \ \ \ \ (t\geq 3,\ \frac{1}{2}\leq \sigma\leq 1)$$ which Ford proves with $A=76.2$ and $B=4.45$.

[Para más discusión sobre las implicaciones de la Bourgain-Demeter-Guth avance de ver, esta reciente preprint de Salud-Marrón de Un Nuevo $k^{th}$ Derivado de la Estimación de Sumas Exponenciales a través de Vinogradov Valor medio]

Answer 2

Y algunas palabras sobre "posibles generalizaciones". El objeto principal aquí es la suma$$S=\sum_{u\asymp a}e^{2\pi i F(u)},$ $ donde$F(u)=-\frac{t\log u}{2\pi}$,$t=a^{n-\theta}$,$0\le \theta<1$. Se sabe que $|S|\ll a^{1-\frac{c}{n^2}}$. Vinogradov mencionó en su libro "Sumas trigonométricas en teoría de números" que incluso la estimación mucho más fuerte$|S|\ll a^{1-\frac{c}{n}}$ (inalcanzable por este método) dará solo$$\pi(x)=\text{li}(x)+O\left(x\exp\left(c\log(x)^{2/3}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).$ $