Serie de Fourier de la función $f(x)=0$ si $-\pi<x<0$ y $f(x)=\sin(x)$ si $0<x<\pi$

Question

$$f(x) = \begin{cases}0 & \text{if }-\pi<x<0, \\ \sin(x) & \text{if }0<x<\pi. \end{cases}$$

Mi intento:

He optado por expandir esta función con una serie compleja de Fourier.

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n}e^{inx}$$

$$C_{n} = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i} e^{-inx} \,\mathrm dx = \frac {1}{\pi}\left(\frac {1}{1-n^2}\right)$$

porque sólo hasta $n$ términos sobreviven, impar $n$ son 0

$$ C_0 = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x)\, \mathrm dx = \frac {1}{\pi} $$

así que

$$ f(x) = \frac{1}{\pi} + \frac {1}{\pi} \left(\frac {e^{i2x}}{1-2^2} + \frac {e^{i4x}}{1-4^2}+\frac {e^{i6x}}{1-6^2}+\cdots\right) + \frac {1}{\pi} \left(\frac {e^{-i2x}}{1-2^2} + \frac {e^{-i4x}}{1-4^2}+\frac {e^{-i6x}}{1-6^2}+\cdots\right) $$

En términos de seno y coseno,

$$ f(x) = \frac{1}{\pi} + \frac {2}{\pi} \left(\frac {\cos(2x)}{1-2^2} + \frac {\cos(4x)}{1-4^2}+\frac {\cos(6x)}{1-6^2}+\cdots\right) $$

Pero la respuesta en mi libro se da como

$$ f(x) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \sin(x)+ \frac {2}{\pi} \left(\frac {\cos(2x)}{2^2-1} + \frac {\cos(4x)}{4^2-1}+\frac {\cos(6x)}{6^2-1}+\dotsb\right)$$

No entiendo cómo hay un término del seno y el denominador de los cosenos tiene $-1$ .

Answer 1

El $\sin$ el término viene de la forma $n=1$ no puedes dividir por cero.

mh He calculado de nuevo, su $\cos(x)$ términos son correctos, no debería haber un $-$ en el denominador

Para $$\int_0^\pi \sin(x) e^{inx}\, \mathrm{d} x = \frac{1+ e^{i \pi n}}{1-n^2}$$ tenemos que comprobar el caso $n=1$ separar ya que no podemos dividir por cero.

El caso $n=1$ dar $$\int_0^\pi \sin(x) \exp(x)\, \mathrm{d}x=\frac{i \pi }{2}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que, $C_1$ es un caso especial y hay que manejarlo por separado como

$$ C_1 = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x) e^{-ix} dx \neq 0. $$

Answer 3

Dado que la función $\phi(t)$ se define en $-L=-\pi<t<\pi=L$ la serie de Fourier puede expresarse como se muestra a continuación:

Las pruebas numéricas de la fórmula son muy consistentes con una buena precisión.

En la figura siguiente, los valores pequeños de $m$ se toman para dejar claras las desviaciones en caso de series limitadas a términos no suficientes.