Harish-Chandra dijo lo siguiente (parafraseado) pequeña historia que escuchó de Chevalley: "Cuando Dios y el Diablo crear el universo, Dios le dio al Diablo una mano libre en la construcción de cosas, pero le dijo que lo mantenga fuera de ciertos objetos a los que iban a asistir. Semisimple grupos fueron algunos de los elementos especiales."
Desde la perspectiva moderna de la clase de (conectado) reductora de los grupos es más natural que la de (conectado) semisimple grupos con el propósito de establecer una sólida teoría general, debido al hecho de que Levi factores de parabolics en reductiva grupos son siempre reductora, pero generalmente no son semisimple cuando en el ambiente del grupo es semisimple. Sin embargo, después de un cierto desarrollo de la teoría básica que uno se entera de que reductiva grupos son solo un engorde de semisimple grupos a través de una central de toro (por ejemplo, GL$_n$ versus SL$_n$), por lo que Harish-Chandra no tuvo problemas para desenvolverse en la semisimple caso con sólo arrastrar a lo largo de algunos central tori aquí y allí en medio de las pruebas.
Así que tu pregunta parece ser básicamente el mismo que preguntar: ¿por qué son (conectado) semisimple grupos de una clase natural en el que centrarse tanto esfuerzo? Es el rico de la clase de los ejemplos de la teoría de la representación y la teoría de los números que históricamente han motivado la evolución posterior y inspirado en la búsqueda de un único y uniforme perspectiva para entender fenómenos dispares de una manera común.
(i) La posibilidad de demostrar teoremas sobre reductora grupos a través de técnicas inductivas, de la construcción de Levi factores en buen parabólico subgrupos, es muy potente y característico de la belleza de la materia; uno no puede comprender esto, desde lo mundano definición con (geométrica) unipotentes radicales, tanto como creo que es inconcebible desde el raw definición de "(conectado) compacto de Lie del grupo" que debe ser enriquecido teoría de la estructura del todo. Esto hace que el aprendizaje de cómo pensar sobre el tema a un asunto complicado, puesto que bien se parece a una agarrar la bolsa de ejemplos explícitos (que puede o no puede ser al gusto) o bien uno tiene que suspender la paciencia y conseguir un poco en la teoría para ver la gran estructura que unifica todos los ejemplos.
Harish-Chandra utiliza el método inductivo todo el tiempo para demostrar teoremas de barrido de la generalidad sobre todo reductora grupos sin necesidad de calcular de forma explícita más allá SL$_2$, casi como si no es sólo "uno" reductiva grupo, $G$. Uno realmente puede demostrar una enorme cantidad de información sobre estos grupos, sin hacer cálculos con matrices en todo. (No explícito que los cálculos están mal, pero se puede obtener una gran cantidad de información sin ellos.) Es sólo por tratar a todos de la misma manera, y mantener un completo panorama general, que Harish-Chandra de la inducción podría tener éxito. Esto le llevó a hacer una analogía con la financiación de: "Si no pedir prestado suficiente, usted tiene problemas de flujo de caja. Si usted pide prestado demasiado, usted no puede pagar los intereses."
(ii) Hay numerosos contextos en los que la estructura unificada de la teoría es la respuesta a muchas oraciones. Considere la posibilidad de "finitos simples grupos de Lie tipo": clásicamente estas fueron estudiadas caso por caso, pero la teoría general de la reductora grupos proporciona un completo enfoque uniforme para su interna estructura de subgrupos, así como pruebas de simplicidad e incluso fórmulas para su tamaño. Considerar conectado compacto Mentira grupos: estos son functorially "el mismo" como conectado reductora $\mathbf{R}$-grupos que no contengan ${\rm{GL}}_1$ como $\mathbf{R}$-subgrupo, y comparten muchas similitudes con la teoría de conectado complejo Mentira grupos de Lie semisimple álgebra, por lo que la teoría algebraica de general campos unifica esas similitudes.
Para "algebraica" preguntas acerca de un finito-dimensional con la representación de un arbitrario grupo $\Gamma$ sobre un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ de característica 0, a menudo se puede reemplazar $\Gamma$ con su Zariski cierre de $G$ en ${\rm{GL}}(V)$. Si $\Gamma$ está actuando irreducible (o semi-simplemente) en $V$, entonces ese $G$ tiene reductora de identidad componente! Así que una vez que se sabe que hay una rica teoría de la estructura de conexión de la reductora de los grupos de entonces se abre la puerta a la solución de problemas que no parecen hablar de esos grupos (por ejemplo, para probar que si $V$ e $V'$ son semisimple finito-dimensional representaciones de $\Gamma$ sobre un campo $k$ de característica 0 $V \otimes V'$ también es semisimple de la representación).
(iii) es un hecho general que un suave conectado afín grupo sobre un campo de característica 0 es reductivo si y sólo si todas sus expresiones algebraicas son completamente reducible, pero esto es absolutamente no evidente (en el más interesante "sólo si" dirección) de la definición de "incómoda" a través de la unipotentes radical. Otra caracterización, debido a Borel y Richardson, tal vez menos evidente importancia (pero en realidad es bastante importante): si $G$ es un buen afín subgrupo de ${\rm{GL}}_n$ sobre un campo (cualquier liso afín grupo puede ser realizado de esa manera), a continuación, ${\rm{GL}}_n/G$ es afín a si y sólo si $G^0$ es reductiva!
(iv) Supongamos que se le entregó a un suave conectado grupo afín $G$ más de un perfecto campo de $k$ y que usted no sabe nada más acerca de $G$ y que te gustaría probar general del teorema. El unipotentes radicales $U$ tiene un (canónica) composición de la serie, cuyos sucesivos cocientes son vectores de los grupos, $U$ a menudo es "fácil" para analizar. ¿Qué acerca de la $G/U$? Tautologically este es reductiva, pero ¿y qué? Que sólo es útil si sabemos algo serio acerca de la estructura de la reductora grupos más allá de la opaca definición involucra la trivialidad de la unipotentes radical. Parecería poco creíble de sólo la definición y el conocimiento de algunos ejemplos básicos que debe haber un método uniforme para analizar la estructura interna y básicos de la teoría de la representación de todos los reductora grupos, pero es cierto.
También es una inmerecida milagro que la teoría de la estructura (incluyendo el papel de los sistemas de raíces) trabaja en una esencia característica de manera libre, incluso más arbitrario de los campos (no hay necesidad de limitar para el caso perfecto; ver los libros por Borel, Humphreys, y Springer), así como a través de los anillos como $\mathbf{Z}$ (ver SGA3). Y muchas de las ideas de la teoría de las formas cuadráticas (por ejemplo, la masa de las fórmulas, Hasse Principio) puede ser extendida y se entiende mejor por ponerlos en un grupo más amplio-marco teórico a través de la teoría de la estructura de la reductora de los grupos (que va mucho más allá del caso de especial ortogonal y de espín de los grupos).
(v) Las primeras décadas de la teoría de la automorphic formas mostraron una abundancia de características similares, como por las formas modulares de Hilbert, Siegel las formas modulares, theta de la serie en el estudio de las formas cuadráticas, y así sucesivamente. Pero, ¿cómo unificar estas en un marco único, el tratamiento de ambas formas de Maass y holomorphic formas en igualdad de condiciones, a entender el significado de Eisenstein, series, etc.? Es precisamente el unificada perspectiva sobre la estructura interna de todos los reductora grupos y el análogo de la unificación de la teoría de la representación en Harish-Chandra de trabajo que los convierte en un marco ideal para subsumir todas estas consideraciones en un grupo uniforme-marco teórico.
En tanto la investigación contemporánea, hay un enfoque en las clases específicas de los grupos (p. ej., unitaria grupos, simpléctica similitud de los grupos, etc.) con el fin de demostrar el resultado (incluso si el sueño es tratar a todos los reductora grupos a la vez!), tanto como en la contemporánea geometría algebraica hay más énfasis en el estudio de las clases especiales de estructuras (por ejemplo, variedades tóricas, 3d superficies, etc.) que en el caso de Grothendieck del trabajo. Pero el uniforme enfoque inductivo para la estructura interna de todos los reductora grupos es muy potente para mantener en la parte de atrás de su mente. Así que si usted ve la teoría de la reductora grupos como el estudio de algunos de la lista de ejemplos explícitos, a continuación, que es un gran error (sin embargo, parte de la apelación es el equilibrio entre la concreción de la construcción de bloques en la clasificación y la posibilidad de que, no obstante, su estudio de una manera que a menudo se evita la necesidad de la clasificación).
