¿Por qué las funciones verdes están involucradas en la teoría de la intersección?

Question

He estado aprendiendo Arakelov la geometría de las superficies por un tiempo. Oficialmente he entendido cómo funcionan las cosas, pero aún me falta una foto grande.

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Resumen:

Deje $X$ ser una media aritmética superficie de más de $\operatorname{Spec } O_K$ donde $K$ es un número de campo (se nos pone en $X$ las buenas propiedades: regular, proyectiva,...). Por otra parte supongamos que $\{X_\sigma\}$ son los "arquímedes fibras" de $X$, donde cada una de las $\sigma$ es un campo de incrustación $\sigma:K\to\mathbb C$ (hasta conjugación). Cada una de las $X_\sigma$ es una suave superficie de Riemann. Hemos logrado a "compactify" nuestra aritmética superficie $X$, así que ahora queremos un razonable intersección de la teoría.

Un Arakelov divisor $\widehat D$ es una suma formal $$\widehat D=D+\sum_\sigma g_\sigma\sigma$$ donde $D$ es una costumbre divisor de $X$ e $g_\sigma$ es una función de Green en $X_\sigma$.

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Pregunta:

Por qué en el archimedian fibras de $X_\sigma$ qué necesitamos Verde funciones? Una función de Green en una superficie de Riemann es simplemente una función de $g:X_\sigma\to\mathbb R$ es $C^\infty$ en todos pero finitely puntos y en la "no-liso" puntos está representada localmente por $$a\log|z|^2+\text{smooth function}$$ en otras palabras, una función de Green es un decente real con valores de función suave que "explota al infinito" en un conjunto finito de puntos. Simplemente no entiendo por qué con el fin de definir una razonable intersección de la teoría, que se necesita un objeto con propiedades. El punto clave debe ser que el Verde de las funciones de satisfacer una de Poincaré-Lelong fórmula que puede ser expresada en términos de las corrientes como: $$dd^c[g]=[\operatorname{div}^G(g)]+[dd^c(g)]$$ pero todavía no entiendo el significado de esta fórmula.

En algún lugar he leído algo como:

Función de Green son muy útiles para "medir distancias" en una de Riemann de la superficie. (Esto no es una cita, sino simplemente lo que recuerdo).

Yo realmente no tiene ninguna idea sobre el significado de esta frase.

Addendum:

Por otra parte, si uno quiere calcular la intersección entre dos Arakelov divisores, en el archimedian lugares que uno tiene que tomar la $\ast$-producto entre el Verde de las funciones. No entiendo la geometría de este producto, probablemente porque no entiendo bien la geometría de la distribución y de las corrientes en las superficies de Riemann.

Answer 1

La función de Green no es utilizada para medir distancias en la superficie, pero para medir distancias en la línea de paquete. Una función de Green en $X_{\mathbb C}$ que estallaba en $D$ puede ser utilizado para medir secciones de $\mathcal O(D)$. De hecho, si queremos representar una sección de $\mathcal O(D)$ como holomorphic función de $f$ a $X_{\mathbb C}$ con polos en los puntos de $D$, e $g$ es una función de Green en $X_{\mathbb C}$ con polos en$D$,, a continuación, $|f(x)|^2 e^{- |g(x)|}$ es un suave no negativo de la función que se desvanece sólo donde $f$ desvanece como una sección de $\mathcal O(D)$ - es decir, donde se encuentra en la imagen de la natural mapa de $\mathcal O(D-P) \to \mathcal O(D)$. De hecho, es fácil ver que esto es un Hermitian forma en el espacio de las secciones. Por lo que la función de Green da una métrica en la línea de paquete.

Necesitamos una métrica en $\infty$ en una línea de Arakelov paquete porque ya tenemos una métrica (en la forma de una $p$-ádico de valoración) en todo otro lugar - cualquier sección de $\mathcal O(D)$ a $X_{\mathbb Q_p}$ tiene una bien definida $p$-ádico de valoración en cada punto de $x\in X_{\mathbb Q_p}$, en un local generador de la línea de paquete en la reducción de la mod $p$ $\overline{x}\in X_{\mathbb F_p}$ se da valor absoluto $0$ - debido a que un generador es también un generador de la fibra de $\mathcal O(D)$ a $x$, esto determina la valoración en cada sección.

Answer 2

Es una buena idea para restringir la primera para entender el caso de la aritmética de las superficies, que es mucho más fácil que el caso general. Por ejemplo, usted no tiene cuidado acerca de Green corrientes (sólo funciones Green) o el *-producto. También, hay Lang libro muy fácil de leer "Introducción a la Arakelov Teoría" el tratamiento de este caso.

Siguiente, permítanme aclarar algunas cosas. Un Arakelov divisor en una media aritmética de la superficie de $X$ es una suma formal $$D=D_{\mathrm{fin}}+\sum_{\sigma}r_\sigma F_\sigma,$$ donde $D_{\mathrm{fin}}$ es un clásico divisor de Weil en $X$, $F_\sigma$ es un símbolo de pie para "una fibra en el infinito" y el $r_\sigma$'s son números reales y no Verde funciones.

El Arakelov-función de Green asociada a una superficie de Riemann $X_\sigma$ es de hecho una función de medición de la distancia de dos puntos en $X_\sigma$. Para ver esto, permítanme recordar su definición: $G_\sigma\colon X_\sigma\times X_\sigma\to \mathbb{R}_{\ge 0}$ es la única función de la satisfacción de:

(i) $G_\sigma^2$ es $C^{\infty}$.

(ii) $G_\sigma(P,Q)$ es distinto de cero para $P\neq Q$. Fijo $Q_0\in X_\sigma$ la función de $G_\sigma(P,Q_0)$ tiene un cero simple en $P=Q_0$.

(iii) Si $P\neq Q$, su curvatura es dado por $\partial_P\overline{\partial_P}\log G_{\sigma}(P,Q)=\pi i \mu_\sigma(P)$.

(iv) se normaliza por $\int_{X_\sigma}\log G_\sigma(P,Q)\mu_\sigma(P)$.

Aquí, $\mu_\sigma$ es la canónica 1-1 forma en $X_{\sigma}$ definido por $\mu_\sigma=\frac{i}{2g}\sum_{j=1}^g \omega_j\wedge\overline{\omega_j}$, donde el $\omega_j$'s forma una base de $H^0(X_{\sigma},\Omega_{X_{\sigma}}^1)$ con respecto al producto interior $\langle \omega,\omega'\rangle=\frac{i}{2}\int_{X_\sigma}\omega\wedge\overline{\omega'}$. La propiedad (ii) muestra, que $G_\sigma(P,Q)$ mide la distancia de $P$ e $Q$ a $X_\sigma$.

Queda por decir, ¿cuál es la conexión de Arakelov divisores y el Arakelov-función de Green. En lugar de Arakelov divisores se puede considerar admisible metrized línea de paquetes. Un metrized línea de paquete es admisible si $\partial \overline{\partial}\log\|s\|_{\sigma}$ es un múltiplo de $\mu_{\sigma}$ para un no-desaparición local de la sección de $s$ de esta línea de paquete. Resulta, que las nociones de lo admisible metrized línea de paquetes de hasta isomorphisms y Arakelov divisores de hasta director de Arakelov divisores son canónicamente equivalente.

Para ver esto, podemos equipar la línea bundle $\mathcal{O}_{X_\sigma}(P)$ sección $P\colon \mathrm{Spec}~\mathcal{O}_K\to X$ con canónica de la métrica dada por $\|1_P\|_{\sigma}(Q)=G_\sigma(P,Q)$ donde $1_P\in H^0(X_\sigma,\mathcal{O}_{X_\sigma}(P))$ es la canónica de sección constante. Además, para cualquier vertical divisor $D$ de % de $X\to\mathrm{Spec}~\mathcal{O}_K$ equipamos $\mathcal{O}_{X_\sigma}(D)$ con el trivial de la métrica. Por lineartiy, obtenemos un canónica métrica para cualquier línea de paquete asociado a un divisor de Weil. Si $D=D_{\mathrm{fin}}+\sum_{\sigma}r_\sigma F_\sigma$ es un Arakelov divisor, denotamos por $\mathcal{O}_{X_\sigma}(D)$ la línea de paquete de $\mathcal{O}_{X_\sigma}(D_{\mathrm{fin}})$ con canónica de la métrica multiplicado por $e^{-r_\sigma}$.

Finalmente, el Arakelov intersección número está dado por la suma ponderada de los locales de la intersección de los números en los lugares de $K$, donde la intersección de los números en la arquímedes lugares están dadas por el Arakelov-función de Green. Precisamente, sostiene $$(P,Q)=\sum_{v\in |\mathrm{Spec}~\mathcal{O}_K|} (P,Q)_v\log N(v) -\sum_{\sigma} \log G_{\sigma}(P,Q),$$ donde $(P,Q)_v$ denota la intersección número de las secciones $P$ e $Q$ en el especial de fibra de $X_v$.

Esto le da a la intersección de producto para cualquiera de las dos secciones diferentes de $X\to \mathrm{Spec}~\mathcal{O}_K$ y, por tanto, por la linealidad, para cualquiera de los dos divisores horizontales tener distintos apoyo en el genérico de la fibra. Cualquier Arakelov divisor puede ser representado como la suma de una horizontal y una vertical Divisor, donde vertical divisores son combinaciones lineales de los componentes de las fibras especiales y el $F_\sigma$'s. La intersección con la vertical Divisor es más fácil de definir y más o menos lo que uno esperaría:

(a) $(D,E)=\sum_{v\in |\mathrm{Spec}~\mathcal{O}_K|} (D,E_\mathrm{fin})_v\log N(v)$ si $D$ es la combinación lineal de los componentes de las fibras especiales y $E$ cualquier Arakelov divisor.

(b) $(F_\sigma,E)=\deg_K E_\mathrm{fin}$ donde $E$ es cualquier Arakelov divisor y $\deg_K E_\mathrm{fin}$ es el grado de la restricción de $E_\mathrm{fin}$ a los genéricos de la fibra.

Answer 3

Aquí es un lugar de bajo la ceja camino de seguimiento a través de Arakelov las ideas originales.

Recordemos que la intersección de dos ordinario divisores $D,E$ puede ser escrito como $$ (D. E)_{v}=\sum^{r}_{i=1}-\log \lVert (f|E) \rVert_{p_{i}} $$ al $E$ es horizontal irreductible divisor y $D$ está representado por $f$ sobre un conjunto abierto $U$ que contiene los puntos en $\textrm{supp}(D)\cup \textrm{supp}(E)$ se encuentra por encima del $v$. (Ver Lang, página 73)

Arakelov la primera idea original es que podemos describir de la intersección de dos irreductible horizontal divisores en el archimeadean lugares por mimicing esta construcción. Su punto de partida es que el ser irreductible horizontal divisores, $D, E$ son de cierre de los puntos de $P_1, P_2$ en el genérico de fibra de $X$. A continuación, $P_1, P_2$ ha residuo campos de $L_1, L_2$ con incrustaciones $\infty^{1}_{\alpha}, \infty^{2}_{\beta}$ que se extiende de que archimeadean valoración $\sigma: K\rightarrow \mathbb{C}$. Además el número de distintas extensiones corresponde al grado de $D,E$ sobre el genérico de la fibra, y la imagen de $P_{i}$ bajo $\infty^{i}_{\alpha/\beta}$ corresponde a conjugar los puntos en la superficie de Riemann $X_{\sigma}$ donde $\infty^{i}_{\alpha/\beta}$ extends $\sigma$.

Arakelov la segunda idea es que debido a $P_1, P_2$ determina la $D, E$ completamente, la intersección de $D,E$ se puede definir por definir la intersección de $P_{1}, P_{2}$. Y esto puede ser definido por la definición de la intersección de sus imágenes. Así llegó a la definición $$ (D, E)_{\infty}=\sum_{\alpha, \beta}(P_{\infty^1_{\alpha}}\cdot P_{\infty^2_\beta}) \label{VI} $$

Mediante la ampliación de la primera idea original, el pensamiento natural es buscar las funciones que atiende el local de la ecuación para el punto de $P,Q$ respectivamente. Y la función debe tener de primer orden de fuga en $P$ (o $Q$). Entonces la intersección de índice puede ser definido a través de $$ (P,Q)=-\log \phi_{P}(Q) $$ Pero esto aún no se resuelve la selección de funciones disponibles. El natural de la restricción es que $(P,Q)$ debe ser igual a $(Q,P)$. Es propuesto por A. Parshin que uno debe buscar las funciones que cumple la ecuación de Poisson $$ \frac{1}{2\pi}\Delta \log \phi_{P}dxdy=-d\mu $$ porque entonces la diferencia de dos funciones, ser armónica, es una constante en $X_{\sigma}$. No es demasiado difícil mostrar que el Verde de las funciones tienen propiedad simétrica si y sólo si queremos normalizar su integral a $0$ (Ver Lang, Capítulo 2).

Por lo tanto, a partir de este número-perspectiva de la teoría de nosotros podría haber un montón de otras opciones, como el tiempo $(P,Q)=(Q,P)$, $\phi_P \ge 0$ y tiene un cero simple en $P$. El beneficio de funciones de Green es que ofrece un fijo elección, pero podemos hacer otras elecciones que se adapte a nuestras necesidades. Si no estoy confundido, en laters obras de la admisibilidad de la condición es abandonado sin mucho daño a la teoría, por ejemplo. De manera que puede haber un poco de espacio para explorar en esta zona si te gusta!