¿Por qué el gaussiano es tan dominante en las matemáticas?

Question

Esta es una pregunta heurística que creo que Serge Lang hizo una vez. El gaussiano:$e^{-x^2}$ aparece como el punto fijo de la transformada de Fourier, en la línea de perforación al teorema del límite central, como la solución a la ecuación de calor, en una muy buena prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer, etc. Es ¿Es un artefacto de las técnicas (como la Transformada de Fourier) que a la gente le gusta usar para tratar ciertos problemas o es la punta de algún iceberg platónico más profundo?

Answer 1

Cuadrática (o bilineal) formas aparecen de forma natural a lo largo de las matemáticas, por ejemplo, a través interior de estructuras de producto, o a través de dualisation de una transformación lineal, o a través de la expansión de Taylor alrededor de la linealización de un operador no lineal. La de Laplace-Beltrami operador y similares de segundo orden, los operadores pueden ser vistos como una diferencial cuadrática formas, por ejemplo.

Un Gauss es básicamente el multiplicativo o exponentiated versión de una forma cuadrática, por lo que es muy natural que surge en multiplicativo contextos, especialmente en los espacios (como el espacio Euclidiano) en el que un natural bilineal o cuadrática de la estructura ya está presente.

Tal vez el milagro menor, sin embargo, es que la transformada de Fourier de una Gaussiana es de nuevo una Gaussiana, aunque una vez que uno se da cuenta de que el núcleo de Fourier es también un exponentiated forma bilineal, esto no es tan sorprendente. Pero amplificar el párrafo anterior: gracias a la transformada de Fourier de la dualidad, Gaussianas no sólo surgen en el contexto espacial de la multiplicación, sino también de la frecuencia de la multiplicación (por ejemplo, convoluciones, y por lo tanto, CLT, o calor kernels).

Uno también puede tomar un adelic punto de vista. A la hora de estudiar no arquimedianos campos tales como el p-adics $Q_p$, compacto subgrupos tales como $Z_p$ juegan un papel fundamental. En los reales, parece que el natural analógica de estos compactos subgrupos son Gaussianas (cf. Tate tesis). Uno puede ordenar de justificar la existencia y el papel central de Gaussianas sobre la base de que el número real de "sistema de necesidades", algo así como el compacto de los subgrupos que la falta de arquímedes hermanos disfrutar, aunque esto no explica totalmente por qué Gaussianas entonces sería exponentiated cuadrática en la naturaleza.

Answer 2

La suma de dos variables aleatorias normales independientes es nuevamente normal , es decir, la forma de la distribución no cambia bajo la suma, excepto para el estiramiento y la escala. Además, la distribución normal es única entre las distribuciones con variación finita al tener esta propiedad. Muchos fenómenos en la naturaleza provienen de sumar varios términos independientes o casi independientes. Por lo tanto, esperaríamos que la distribución normal se muestre mucho en las matemáticas inspiradas en la naturaleza.

Answer 3

Recientemente me encontré con una extraña y hermosa conexión entre el Gaussiano $e^{-x^2}$ y el método de mínimos cuadrados. Resulta que el cuadrado de $e^{-x^2}$ y la plaza de `mínimos cuadrados" es la misma plaza.

Deje $(x_i,y_i)$ (con $1\leq i \leq n$) sea el conjunto de datos, y supongamos que para cada una de las $x$, la $y$'s están distribuidos normalmente con una media de $\mu(x)=\alpha x+\beta$ y la varianza $\sigma^2$. Entonces, la probabilidad de que la generación de nuestros datos (suponiendo que los puntos de datos son independientes) es $$\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y_i-\mu(x_i))^2}{2\sigma^2}\right) =\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\right)^n \exp\left( \frac{-1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \alpha x+\beta)^2 \right)$$ Nosotros, obviamente, desea elegir los parámetros de $\alpha,\beta$, de modo que la probabilidad es maximizada, y esto se logra mediante la minimización de la $$\sum_{i=1}^n (y_i - \alpha x+\beta)^2.$$ En otras palabras, la aproximación de mínimos cuadrados es la que hace que el conjunto de datos más probabilidades de suceder.

Answer 4

Esto es sólo una menor amplificación de uno de Terry Tao puntos. Para cualquier prime $p$, el anillo de $\mathbb{Z}_p$ de $p$-ádico enteros formas abiertas compacto subgrupo aditivo de $\mathbb{Q}_p$, la realización de $\mathbb{Q}$ por debajo del p-ádico métrica, y de su función característica debe ser visto como un p-ádico análogo de la Gaussiana. Muestra muchos análogos de las buenas propiedades que vemos de la Gaussiana:

1. Es suave (en el sentido de que el buen funciones totalmente desconectados de los espacios se definen como localmente constante de funciones, pero esto no es completamente redundante, puesto que esta clase de funciones resulta ser útil).
2. Se toma a sí mismo bajo la $p$-ádico transformada de Fourier cuando normalizaciones son elegidos de forma adecuada.
3. Obedece a algo así como un teorema del límite central. Por ejemplo, si usted mueve de un tirón un montón de monedas, y pregunte por el número de cabezas de mod $p^n$, que, de tiempo suficientemente largo de los ensayos, obtener una distribución prácticamente uniforme. Suena como que podría ser una manera de interpretar este tipo de convolución en términos de calor que fluye, pero no sé una declaración precisa.

La situación con la línea real es más complicada debido a que está conectado pero no compacto, y por lo tanto no tiene abierto compacto subgrupos. Hay una máxima compacto multiplicativo monoid (a veces llamado el "anillo de los enteros de $\mathbb{R}$" de manera informal), dada por el intervalo cerrado $[-1,1]$. Usted puede pensar de la Gaussiana como una suavización de la distribución uniforme en $[-1,1]$, pero no está claro para mí que esta analogía es muy fructífera.

Answer 5

Yo no soy un experto, pero creo que Stein método da un resultado más satisfactorio conexión entre la CT y la ecuación del calor, en particular en lo que no implica que la transformada de Fourier. Stein caracterización de la distribución normal y la convergencia a la normalidad implica un operador estrechamente relacionados con el generador de Ornstein-Uhlenbeck. Por otro lado, el hecho de que éste tiene el Gaussiano como sus invariantes medida puede ser obtenida por un trivial de transformación de la solución fundamental de la ecuación del calor.