¿Una interpretación geométrica de la conexión Levi-Civita?

Question

Deje $M$ ser un colector de Riemann. No existe un único torsión libre de conexión en la (co)tangente paquete de $M$ de manera tal que la métrica de $M$ es covariantly constante. Esta conexión se llama la de Levi-Civita de conexión y su existencia y unicidad generalmente son probados por un cálculo directo en las coordenadas. Ver, por ejemplo, Milnor, Morse teoría, capítulo 2, \S 8. Este es corto y fácil, pero no muy esclarecedor.

De acuerdo a C. Ehresmann, una conexión en un haz de fibras $p:E\to B$ (donde $E$ e $B$ son suaves colectores e $p$ es un buen fibration) es sólo un complemento de subbundle de la vertical bundle $\ker dp$ en $T^*E$. Si $G$ es la estructura de grupo de la agrupación y $P\to B$ es el correspondiente $G$-director de grupo, luego dar una conexión cuyo holonomy toma valores en $G$ es la misma para dar un $G$-equivariant conexión en $P$.

Si $p:E\to B$ es un rango de $r$ vector paquete con una métrica, entonces se puede asumir que la estructura de grupo es $O(r)$; el correspondiente director bundle $P\to B$ en el hecho de ser el paquete de todos los ortogonal $r$-marcos en $E$. Entonces, uno puede construir un $O(r)$-equivariant conexión de tomar cualquier métrica en $P$, con un promedio de fin de obtener un $O(r)$-equivariant métrica y, a continuación, tomar el complemento ortogonal de la vertical del bulto.

Observe que, en general, uno puede tener varios $O(r)$-equivariant conexiones: tome $P$ a ser el espacio total constante $U(1)$-bundle en el círculo; $P$ es un 2-toro y cada racional de la foliación de $P$ que no es constante en el "círculo" de la dirección da un $U(1)$-equivariant conexión. (Todas estas conexiones son de calibre equivalente pero diferente).

Así que me gustaría preguntar: dado un colector de Riemann $M$, hay una manera de interpretar la de Levi-Civita de la conexión de un subbundle de la estructura de paquete de la tangente paquete de $M$, de modo que su existencia y la unicidad de quedar claro, sin ningún cálculo en coordenadas?

Answer 1

Para entender la existencia y unicidad de la LC conexión, no es posible soslayar algunos de álgebra, es decir, el hecho de que (con un 1-la línea de la prueba) de que un tensor $a_{ijk}$ simétrica en $i,j$ e inclinación en $j,k$ es necesariamente cero. La interpretación geométrica es este: una vez que uno tiene la $O(n)$ subbundle $P$ de la estructura de paquete de $F$ definido por la métrica, existe en cada punto) un único subespacio transversal a la fibra, que es tangente a ambos a $P$ y a una coordenada inducida por la sección de $\{\partial/\partial x_1,\ldots,\partial/\partial x_n\}$ de %de$F$.

Answer 2

Es el siguiente descripción correcta?

La métrica determina la geodesics: tirar de una cadena lo suficientemente apretado y será una geodésica.

Estos a su vez determinan una clase de conexiones, determinado a torsión: torsión de la cadena, mientras que el transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de ella, y está cambiando la conexión se mantiene el mismo geodesics.

Ahora elija una conexión de transporte paralelo de un infinitesimal vector a lo largo de una curva geodésica $\gamma$. La punta del vector se dibuja una curva de $\gamma '$. El cero de torsión de conexión en la clase, es decir, la de Levi-Civita de conexión, es la minimización de la longitud de $\gamma '$.

Por CIERTO, esta pregunta está relacionada con: ¿Cuál es la torsión en la geometría diferencial intuitivamente?

Answer 3

Esto evita el uso de símbolos de Christoffel y el índice argumento por volver a la caracterización de la torsión libre de la propiedad. La siguiente es una definición de torsión de conexión. Deje $\tau:TM \to M$ ser la tangente paquete de proyección. Una torsión de conexión es una división de $T(TM) = H(TM) \oplus V(TM)$ donde $V(TM) = {\rm kernel}(T \tau) \equiv TM \oplus TM$ (ver Kolar,Michor,eslovaco (1993)). La derivada covariante asociados a esta división está dada por $\frac{Dv}{Dt} = {\rm pr_2} \left( {\rm ver}( \frac{dv}{dt} ) \right)$ donde ${\rm ver}:TM \to VM$ es la proyección en $VE \equiv TM \oplus TM$ e $\rm pr_2$ es la proyección sobre el segundo factor de $TM \oplus TM$. Las torsiones de la propiedad se manifiesta en el hecho de que dado cualquier superficie incrustación $m: (s,t) \mapsto m(s,t) \in M$ observamos $\frac{D}{Dt} ( \partial_s m) = \frac{D}{Ds}( \partial_t m)$ por la igualdad de la mezcla de los parciales. Considerar el mapa de $h^{\uparrow}: TM \to T^{(2)}M$ dado por $h^{\uparrow}(v_0) = \left.\frac{d}{dt} \right|_{t=0}(v(t))$ donde $v(t)$ es la geodésica con condición inicial $v_0 \in TM$. Entonces (creo) la de Levi-Cevita está dado por $H(TM) = h^{\uparrow}(TM)$. Claramente, este es un espacio horizontal, y por lo tanto un bien definido de conexión.

Answer 4

La conexión Levi-Civita se describe localmente mediante los símbolos de Christoffel. ¿Cómo se obtienen estos de manera natural? Escriba el Euler-Lagrange para la longitud funcional. Los extremos de este funcional son las geodésicas y una vez que escribe las ecuaciones de Euler-Lagrange obtiene los símbolos de Christoffel. Para más detalles, vea el ejemplo 5.1.8 de mi libro .

Answer 5

Creo que una buena forma de entender la de Levi-Civita de conexión, es decir que es el Ehresmann conexión en $TTM$ obtenido a partir de la linealización de la línea geodésica flujo natural de la construcción geométrica.

He descrito esta construcción en mi respuesta a este MO pregunta, pero voy a hacerlo de nuevo con algunas mejoras.

Dinámica de la construcción.

Deje $c(t)$ ser una órbita de la línea geodésica de flujo en $TM$, considerar la vertical subespacios $V(t)$ en $TTM$ a lo largo de $c(t)$ y traerlos de vuelta al espacio de la tangente de la cotangente del paquete sobre el punto de $c(0)$ utilizando el diferencial de la corriente. Usted obtiene una familia de (de Lagrange) subespacios $l(t) := D\phi_{-t}(V(t))$ en el simpléctica espacio vectorial $T_{c(0)}TM$.

Ahora se olvida jamás tuvo una geodésica de flujo: todo lo que usted necesita es la curva de subespacios. Un poco de diferencial geometría proyectiva---se describe a continuación---muestra que usted también consigue una segunda curva de $h(t)$ de (Lagrange subespacios) en $T_{c(0)}(T^*M)$ que es transversal a $l(t)$. El subespacio $h(0)$ es el subespacio horizontal de la conexión y $T_{c(0)}(T^*M) = l(0) \oplus h(0)$ es la descomposición en vertical y horizontal subespacios.

Proyectiva de la construcción.

Ahora voy a describir como succintly posible la proyectiva-construcción geométrica que subyace en la de Levi-Civita de conexión y el Schwartzian derivados. Para el detais de lo que sigue, véase este artículo ¿Qué hay de nuevo en la descripción que aquí se que me explícitamente el uso de la Springer resolución (Durán y he utilizado implícitamente en el papel).

En primer lugar tenemos dos observaciones sobre la geometría de la Grassmannian $G_n(\mathbb{R}^{2n})$ de %de $n$- dimensiones de los subespacios en $\mathbb{R}^{2n}$

1. El espacio de la tangente de $G_n(\mathbb{R}^{2n})$ a un subespacio $\ell$ es canónicamente identificado con el espacio de lineal mapas de $\ell$ a $\mathbb{R}^{2n}/\ell$ o, de manera equivalente, con el espacio de $(\mathbb{R}^{2n}/\ell) \otimes \ell^*$. Desde $\mathbb{R}^{2n}/\ell$ e $\ell$ tienen la misma dimensión, podemos distinguir una clase de curvas diferenciables $\gamma$ sobre el Grassmannian al exigir que en cada instante $t$ sus velocidades son invertible lineal mapas de $\gamma(t)$ a $\mathbb{R}^{2n}/\gamma(t)$. Estas curvas se llaman fanning o regular.

El uso que la cotangente del espacio de $G_n(\mathbb{R}^{2n})$ a un subespacio $\ell$ es canónicamente isomorfo a $\ell \otimes (\mathbb{R}^{2n}/\ell)^*$, se puede levantar cada fanning curva de $\gamma(t)$ a una curva en la cotangente del paquete de la Grassmannian por $t \mapsto (\dot{\gamma}(t))^{-1}$.

2. Considere la posibilidad de la acción de los lineales de grupo $GL(2n;\mathbb{R})$ sobre el Grassmannian $G_n(\mathbb{R}^{2n})$ y la levante para una acción en su cotangente del paquete. El momento en el mapa de esta acción toma valores en el conjunto de nilpotent matrices.

Ahora considere una fanning curva de $\gamma(t)$ sobre el Grassmannian $G_n(\mathbb{R}^{2n})$ y la levante para la curva de $(\dot{\gamma}(t))^{-1}$ en su cotangente del paquete. Uso en el momento en el mapa para obtener una curva de $F(t)$ de nilpotent matrices. Tenga en cuenta que todo lo que hemos hecho es $GL(2n,\mathbb{R})$-equivariant.

Finalmente, llegamos al pequeño milagro: el tiempo derivado de la $F(t)$ es una curva de reflejos $\dot{F}(t)$ (es decir, $\dot{F}(t)^2 = I$) cuyos -1 subespacio propio es la curva de subespacios $\gamma(t)$ y cuyas $1$-espacio propio que define a una "curva horizontal" $h(t)$ equivariantly conectado a $\gamma(t)$. Esta es la construcción que los rendimientos de la de Levi-Civita de conexión (y lo que está detrás de los formalismos de Grifone y Foulon para las conexiones de segundo orden del ODE en los colectores).

Diferenciar $F(t)$ un segundo tiempo para encontrar la Schwartzian derivados. Geométricamente, sólo se describe cómo la curva de $h(t)$ se mueve con respecto a $\gamma(t)$. Para la comparación, recordemos que la curvatura de una conexión se obtiene por diferencia (es decir, el horquillado) horizonal campos vectoriales y proyectando sobre la vertical del bulto.