¿Cómo * declaras * la Clasificación de grupos simples finitos?

Question

Desde el punto de vista formal de las matemáticas, lo que constituiría una declaración apropiada de la clasificación de los finitos simples grupos? Como yo lo entiendo, la clasificación enumera 18 infinito familias y 26 grupos esporádicos y afirma que un grupo finito es simple iff es en una de estas familias. Ahora el 18 infinito familias son todas muy claramente definido como cíclico grupos de permutación de grupos, la matriz de los grupos de más finito campos, etc. así que no creo que haya mucha dificultad en la definición de estas, precisamente. Mucho más problemático son los esporádicos grupos, que son "conocidos" y, por tanto, aparentemente no necesitan definición.

Para dar un ejemplo, ya que el monstruo grupo es algún objeto finito podríamos escribir su tabla de Cayley y definir que para ser el monstruo grupo. Hay dos grandes problemas con esto: (1) esta tabla es enorme y redundante, y (2) no es fácil trabajar con esta tabla para demostrar las propiedades de la misma. El principal problema es que no tenemos que pensar sobre el monstruo grupo en términos de su tabla de Cayley, ni siquiera como el grupo generado por un determinado par de $196882^2$ matrices. En lugar de ello lo vemos como un grupo específico que satisface algunas de las propiedades y está definida únicamente por las propiedades; presumiblemente es en este contexto que un determinado esporádicos grupo se mostrará en el curso de la clasificación de la prueba.

Mi problema es que no tengo idea de lo que esos caracterización de propiedades. De hecho, en algunas de las definiciones que más bien sería debilitar o restarle importancia a la declaración de clasificación, por ejemplo si he definido el esporádica de grupos como el simple grupos que no están en el grupo de 18 familias. Qué definición de estos objetos se utiliza realmente en la prueba?

(Lado de la cuestión: 16 de las 18 familias son generalmente recogidos bajo una etiqueta, los "grupos de Lie tipo". Es esta clase definible en cierta manera uniforme, o son las definiciones individualizado y el nombre es simplemente debido a algunas similitudes reconocemos entre estas familias?)

Answer 1

En realidad, hay dos preguntas que parecen confluir aquí.

El primero es la forma de estado de la CFSG en una forma que pueda ser mecánicamente formalizado. El segundo es la forma de estado de la CFSG que refleje adecuadamente cómo los humanos matemáticos a pensar.

Para la primera cuestión, una sencilla posibilidad de que el esporádica de grupos, ya que conocemos sus órdenes, es simplemente diga algo como, "No existe un único grupo simple, no en una de las mencionadas familias, de cada una de las siguientes órdenes: 7920, 95040," etc. Esta es la más elemental posible declaración de que podría contar como una clasificación teorema, y para un equipo, que aporta (en principio) la información suficiente para reconstruir los grupos en cuestión.

Para la segunda pregunta, sin embargo, no hay ningún límite claro de la demarcación donde el teorema de clasificación de los extremos y el estudio detallado de las propiedades de los grupos esporádicos comienza. Además no hay canónica forma de describir un determinado grupo de interés de una manera que satisfaga a un ser humano que él o ella ahora "sabe lo que es el grupo." Pero no hay nada especial acerca de la teoría de grupo aquí. Cualquier suficientemente grande y complicada objeto matemático va a sufrir de este problema. Habrá algunos desnudo-mínimo manera de referirse a lo que, en principio, lo toma de la amorfo universo de todos los objetos matemáticos, pero que no acierta a responder preguntas básicas acerca de él. Habrá una continuidad de los teoremas que responda a las preguntas básicas, dar sombra a las preguntas que no podemos contestar. Es una cuestión de opinión, ¿cómo muchas de las preguntas que hemos de ser capaces de responder antes de que podamos afirmar que tiene "se describe de forma adecuada" el objeto.

Answer 2

No puedo responder a su pregunta general, pero puedo responder a su lado de la pregunta. Casi todos los grupos de Lie tipo se construyen como sigue. Tomar un simple algebraica de grupo $G$ definido más de una expresión algebraica cierre del primer campo de $\overline{\mathbb{F}_p}$ para algunos prime $p>0$. A continuación, tomar una generalizada Frobenius endomorfismo $F : G \to G$ y considerar el punto fijo subgrupo $G^F = \{g \in \mid F(g) = g\}$. A un muy pequeño número de excepciones el cociente $G^F/Z(G^F)$, entonces es un grupo simple finito, conocido como un grupo simple finito de Mentir tipo. Tetas muy elegante teoría de BN-pares le permite mostrar relativamente fácil que el $G^F/Z(G^F)$ es simple. En realidad creo que el orden de la fórmula para el grupo como un polinomio en $q$ también le permite deducir rápido rápido que en su mayoría obtienen un pairwise no isomorfos de la lista.

Ahora, la simple simplemente conectado algebraicas grupos son etiquetados utilizando Mentira teórico de la notación. Por ejemplo, si $G$ es$\mathrm{SL}_n(\overline{\mathbb{F}_p})$, entonces eso sería Mentir tipo de $\mathrm{A}_n$. Ahora generalizada de Frobenius endomorphisms en $G$ son esencialmente clasificados por pares $(q,\phi)$ consta de $q = p^a$ un poder de $p$ y un automorphism $\phi$ del diagrama de Dynkin de $G$. Por ejemplo, en el tipo de $\mathrm{A}_n$ no es exactamente un no-trivial automorphism del diagrama de Dynkin decir $\tau$. Uno tiene entonces dos conjuntos de triples $(\mathrm{A}_n,q,\mathrm{id})$ e $(\mathrm{A}_n,q,\tau)$. El primero corresponde a la serie infinita $\mathrm{PSL}_{n+1}(q)$ que consiste en la proyectiva especial lineal de los grupos y el segundo corresponde a la serie que consta de la proyectiva especial unitaria grupos $\mathrm{PSU}_{n+1}(q)$. Obviamente, hay algunos casos en que estos no son simples. Por ejemplo, $\mathrm{PSL}_2(2) \cong \mathfrak{S}_3$ e $\mathrm{PSL}_2(3) \cong \mathfrak{A}_4$ no son simples, pero si no recuerdo mal estos son los únicos ejemplos en la familia $\mathrm{PSL}_{n+1}(q)$.

Molesto, existe un grupo de Lie tipo que no puede ser descrito de esta manera, es decir, las Tetas grupo. Este es el derivado de los subgrupos de la Ree grupo ${}^2\mathrm{F}_4(2)$ y es generalmente denotado ${}^2\mathrm{F}_4(2)'$. Muchas personas que trabajan en grupos de Lie tipo considerar que se trata de una Esporádica grupo debido a esta razón. Sin embargo, como todo el mundo sabe ahora que hay 26 esporádicos finitos simples grupos te gustaría bastante estúpido aduciendo que existe a ser 27.

Edit: Usted puede encontrar el reciente libro "algebraicas Lineales grupos y grupos finitos de tipo de Mentira" por Malle y Testerman esclarecedor. La sección 24 del libro específicamente habla de la construcción finitos simples grupos de Lie tipo muy legible. Específicamente echar un vistazo al Comentario 24.9, Teorema 24.17 y Observación 24.18.