Todos los subconjuntos compactos de un espacio Hausdorff están cerrados y hay T $_1$ espacios (también T $_1$ espacios sobrios) con subespacios compactos no cerrados. Así que busco algo intermedio.
¿Existe una caracterización de la clase de espacios donde todos los subconjuntos compactos están cerrados? O al menos, ¿hay un nombre para ellos?
Parece que se les suele llamar KC-spaces ( K ompact C perdido), de vez en cuando T B -espacios y muy raramente $J_1^ \prime $ -espacios. Como has notado, esta clase de espacios se encuentra estrictamente entre los T 1 -y los espacios Hausdorff.
No tengo conocimiento de ninguna caracterización de ellos aparte de la definición dada. Lo más cercano que se me ocurre de este tipo es que un espacio compacto (no necesariamente el espacio de Hausdorff) es máximamente compacto ( es decir. ninguna topología estrictamente más fina es compacta) si es KC. Además, cualquier espacio de KC que es o bien el primero en contar o localmente compacto 1 es en realidad Hausdorff.
(Como un aparte, una serie de preguntas sobre los espacios KC han sido preguntado aquí en matemáticas. en el último año más o menos.)
1 Aquí <em>localmente compacto </em>significa que cada vecindario de cada punto incluye un vecindario compacto de ese punto
Un par de referencias:
Según mi reconocimiento, no tiene una caracterización de esta clase de espacios, creo que la razón es que esta clase de espacios no es Hausdorff y a mucha gente no le importa ya que siempre estudiamos las clases de espacios por lo menos Hausdorff.
Los siguientes párrafos pueden serle útiles, que se copian de la página 221 Enciclopedia de Topología General :
Un resultado enseñado en un primer curso de topología es que un compacto el subespacio de un espacio Hausdorff está cerrado. Un Hausdorff espacio con la propiedad de estar cerrado en cada Hausdorff El espacio que lo contiene como subespacio se llama H-cerrado (corto para Hausdorff-cerrado).
Los espacios cerrados en H fueron introducidos en 1924 por Alexandroff y Urysohn. Ellos produjeron un ejemplo de un espacio cerrado en H que no es compacto, mostró que un espacio cerrado de H regular es compacto, caracterizado por un Hausdorff espacio como H-cerrado precisamente cuando cada cubierta abierta tiene una subfamilia finita cuya unión es densa, y planteó la pregunta de los cuales los espacios de Hausdorff pueden estar densamente incrustados en un espacio cerrado H.
(Este es más bien un comentario demasiado largo:)
En una lectura constructiva, "todos los subconjuntos compactos están cerrados" se convierte en "la identidad es una inyección continua bien definida desde el espacio de los subconjuntos compactos al espacio de los subconjuntos cerrados". Esta última propiedad equivale a ser Hausdorff (Propuesta 15 en http://arxiv.org/abs/1204.3763 ).
Por lo tanto, para cualquier espacio KC que no sea Hausdorff, probar que es efectivamente KC requerirá algún argumento no uniforme.
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