Cómo hacer que la gente que estudia intensamente matemáticas abstractas "imaginar" o entender los conceptos que se están estudiando o se enseña?

Question

Esta pregunta es, probablemente, a las personas reales que el estudio de las matemáticas, en vez de "terceros".

No he estudiado cualquier matemáticas, pero me imagino que algunos (probablemente la mayoría) de que es bastante (o muy) abstrae del mundo en que vivimos. Por ejemplo, cualquier concepto en más de 3 dimensiones o simplemente generalizaciones a n dimensiones-¿cómo se puede lidiar con eso?

Entonces, ¿qué tipo de imagen aparece en tu cabeza? ¿Cómo se evocan los recuerdos de varios conceptos? ¿Cómo se "almacenan"? ¿Uno tiene que tener una imagen en su cabeza de ninguno de esos conceptos o tal vez son sólo relaciones apunté en un papel?

Answer 1

En mi opinión hay un montón de cosas que no se pueden imaginar o entender. Como John von Neumann dijo: "Joven, en matemáticas no entender las cosas: acaba de acostumbrarse a ellos.".

Answer 2

Una vez que usted comienza a hacer "realmente abstracto de las matemáticas", en mi opinión, no es posible O útil imaginar realmente nada visualmente.

Usted puede hacerse preguntas como: "¿Cómo un avión en $\mathbb{R}^{1000}$? Pero incluso esto es mucho más "concretas" y "es visualizable" que tratando de imaginar cómo, no sé, el grupo $(\mathbb{Z}/15485863\mathbb{Z}\setminus\{[0]\},\cdot)$ parece. De hecho, yo diría que no se parece a nada, realmente. Sin embargo, las matemáticas le dice exactamente qué propiedades tiene ($15485862$ elementos, conmutativa, tiene $4424448$ de raíces primitivas,...).

También, nuestra intuición es muy malo con los conjuntos infinitos (o propios de las clases). Es difícil imaginar que hay un número infinito de tamaños de conjuntos infinitos, como la forma $\mathbb{Q}$ es menor que $\mathbb{R}$, que es más pequeño que el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$, y así sucesivamente y así sucesivamente. Pero es cierto, podemos demostrarlo! La mayoría de la gente piensa que el axioma de elección para los conjuntos infinitos debe ser cierto, sin embargo, la buena ordenación principio parece completamente ridículo, a pesar del hecho de que estos dos son equivalentes (es decir, significan lo mismo).
Nadie podía imagen de "la clase de todos los conjuntos", es simplemente demasiado grande, pero todavía podemos razonar sobre ella.

Tratando de inventar imágenes para todos estos objetos parece mucho más complicado (o imposible) que sólo el razonamiento acerca de ellos con cadenas de símbolos.

Debo mencionar, sin embargo, que en la teoría de grafos y de la categoría de teoría, donde el último es realmente resumen, el uso de diagramas 2D para visualizar conceptos, pero todavía tiene sus limitaciones (no se puede dibujar la categoría de todos los conjuntos, incluso con infinito el tiempo disponible).

Answer 3

Es realmente todo acerca de ser flexible. Usted tiene que:

• Trate de pensar en el adecuado nivel de detalle.
• Ser flexible en la forma de visualizar las cosas.
• Creo que formalmente cuando corresponda.

También es crucial:

• conocer los principales ejemplos y contraejemplos.

Creo que en el nivel adecuado de detalle. Por ejemplo, si estoy trabajando con uno o un par de conjuntos y funciones, entonces yo podría imaginar la establece como un conjunto de puntos, y las funciones que consta de flechas nos dice cómo conseguir entre ellos. Pero a veces, esto es demasiado detalle, y tiene sentido, en lugar de simplemente visualizar los conjuntos de círculos cuya estructura interna no es crucial, y para imaginar las funciones como único flechas. Las herramientas de la categoría de la teoría son indispensables en este caso, buscar la frase conmutativo el diagrama.

Ser flexible en la forma de visualizar las cosas. Si $S$ es un conjunto, y eso es todo lo que sé sobre $S$, entonces me imagine $S$ como un montón de puntos. Si $S$ es un "homset" en alguna categoría, voy a imaginar $S$ como un manojo de flechas. Si $S$ tiene un orden total sobre él, entonces voy a imaginar los puntos uno tras otro, con partes que se ven un poco como los intervalos de números reales, y otras partes que se ven un poco como $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{N}$ o $\mathbb{N}^{\mathrm{op}}$ . No existe una única forma correcta de visualizar el concepto de "conjunto".

Creo que formalmente cuando corresponda. A veces, en lugar de tratar de visualizar lo que está pasando, me voy a centrar en las reglas del juego. Este es un objetivo orientado a la trama de la mente; tengo algunos supuestos escrito, y estoy tratando de escribir esta conclusión. Así que jugar a un juego con los símbolos, con el objetivo de obtener a partir de las premisas a la conclusión. Todavía puedo "entender" lo que está pasando, pero el juego en sí, lo entiendo, no el sentido del juego. De hecho, este enfoque es completamente familiar para cualquier estudiante de matemáticas, no importa cómo se concreta su campo de experiencia, en cualquier momento que usted está haciendo agitado álgebra, usted está probablemente se centre en las reglas del juego, más que el significado de los símbolos.

Conocer los principales ejemplos y contraejemplos. Para citar a Paul Halmos: "Un buen montón de ejemplos, tan grande como sea posible, es indispensable para una comprensión cabal de cualquier concepto, y cuando quiero aprender algo nuevo, voy a hacer mi primer trabajo para construir uno."

También vale la pena mencionar que, naturalmente, construir una intuición para los conceptos abstractos a través de la exposición y el uso. Creo que este es el cerebro de reorganizarse a fin de que las áreas del cerebro que fueron diseñados originalmente para la solución de problemas concretos que se utilizan actualmente para entender conceptos abstractos. Cuando esto sucede, los conceptos abstractos de hecho empiezan a parecer menos abstracta; de hecho, que a menudo terminan sensación de que el punto de vista abstracto en realidad es más simple y más intuitivo que el hormigón, ya que es menos cargado con detalles irrelevantes.

Answer 4

Hablando a grandes rasgos, el tipo de "patrones" o estructura de la que se extraen en las matemáticas no necesita tener ningún mundo real contrapartes. Vamos a considerar un simple tema de las escuelas elementales de la teoría de números. Un patrón que se encuentra en las bases es que cualquier no-trivial conjunto de números enteros cerrado bajo la resta tiene una estructura muy simple. Es decir, es el conjunto de todos los múltiplos de por lo menos su elemento positivo. La mayoría de los resultados básicos de la primaria a la teoría de números puede ser rápidamente deriva de este hecho simple (cuya prueba es una consecuencia directa de la división con los más pequeños resto).

Este sencillo patrón aparece en muchos lugares, por ejemplo, es posible denominadores $\n\,$ de una fracción $\q\,$ también son cerrados bajo la resta $\,nq,kq\en\Bbb Z\,\Rightarrow\, (n\!-\!k)q = nq-kq\en\Bbb Z,\,$ así que el mínimo denominador se divide cada denominador (por lo que es único). $ $ De manera similar en los grupos, el conjunto de $\n\,$ tal que $\,^n = 1\,$ es cerrado bajo la resta $\,^n = 1 = a^k\,\Rightarrow\,^{n-k} = a^n^{-k} = 1,\,$ por lo tanto el menos positivo tal que $\n,\,$ llamado el orden de $\,,\,$ divide a cada una de esas $\n.\,$

Esta sencilla estructura juega un papel fundamental en la teoría de grupos y teoría de números que los matemáticos han resumido en las diversas formas que la hace fácilmente reconocible, viz. la teoría de grupos cíclicos, y el ideal de la teoría de la Euclídea dominios, cuyos ideales son todos los principales, es decir, el conjunto de todos los múltiples de la "más pequeño" elemento".

También hay muchos patrones de divisibilidad, por ejemplo, las propiedades universales de mcd y mcm

$$\begin{align} y un\mid b,c \ffi\mid \gcd(b,c)\\ & b,de c\mid \ffi {\rm lcm}(b,c)\mid \end{align}\qquad$$

Por lo tanto cada vez que uno ve el patrón en el lado izquierdo, que puede ser reemplazado por el patrón en el lado derecho. Esto, combinado con las leyes básicas de la mcd y mcm, va un largo camino hacia la solución de muchos problemas de divisibilidad, por ejemplo, ver varios posts aquí en gcds y en lcms.

En matemáticas nos esforzamos para abstraer estos patrones fundamentales en su mayoría de forma general. Esto maximiza la probabilidad de que serán fácilmente reconocibles en diversos contextos, y que por lo tanto puede ser eficientemente reutilizados. A pesar de que el reconocimiento y la abstracción de estos patrones en el mundo real, probablemente no es algo que la evolución ha entrenado con nosotros, uno puede llegar a ser bastante competente en tales. Se han realizado estudios de simbólico reprogramación de nuestras innatas facultades mentales, por ejemplo, véase el estudio clásico de Pensamiento y de elección en el ajedrez por el psicólogo Adriaan de Groot. Igual de grandes maestros han entrenado sus mentes de manera eficiente reconocer las muchas fundamental de patrones abstractos de las piezas que se presentan en (humanos) de los juegos de ajedrez, también lo han hecho los matemáticos entrenado su mente para reconocer fundamental resumen de los patrones matemáticos.

Answer 5

Sólo puedo hablar por mí mismo. Cuando me entero de un nuevo concepto con el que yo trato de pensar en un ejemplo específico con el que estoy familiarizado. Eso es lo que Richard Feynman hizo y esto es lo que viene a mi mente cuando alguien me pregunta sobre el concepto. Supongo que esto es más o menos como yo defino "imagine".

He aprendido el concepto cuando puedo hacer simples inferencias acerca de sus instancias rápidamente y soy capaz de bucear en problemas más difíciles, sin perderse en las definiciones, propiedades básicas, etc. Esto significa que tengo la intuición acerca de que los objetos de satisfacer y que no cumplen la definición (y por qué), que las declaraciones podrían celebrar (y la dirección de su prueba) y que el sonido extraño (y cómo un contraejemplo que podría parecer), ... La intuición se basa a menudo en importante lemas, teoremas, su uso y consecuencias y específicos de ejemplos y contraejemplos. A veces tengo una visualización de un ejemplo concreto, a veces no me parece que o necesita uno.

El útil ejemplos y contraejemplos en álgebra por ejemplo, 0, 1, -1, constante de funciones, asignación de identidad, proyecciones, elementos de base. En teoría de grafos, que son uno de los vértices, el gráfico de ruta de acceso con 1 arista, el triángulo, el vacío (o en general, la escasa o desconectado) gráfico completo (o, en general densa) el gráfico de ruta de acceso, ciclo, árbol, bipartito gráfico. Cada campo tiene su propio conjunto, pero por lo general son muy básicos. A veces hay también un complejo con propiedades interesantes, como el gráfico de Petersen o Klein de cuatro grupos.

A la hora de resolver un no-problema trivial, trato de resolver algunos pequeños objetos específicos, por una simple clase de objetos y, a continuación, proceder a la general de la variante. Así que voy a construir un sentido de cómo funciona cada vez más general de los escenarios. E. g. en combinatoria, geometría, solución para el problema en 2D o 3D, a menudo sirve como base para la inducción matemática. Por el contraste de la solución en 2D y 3D, es a menudo posible para llegar con el paso inductivo. Cuando voy a resolver muchos problemas, mi cerebro empieza a reconocer los patrones que yo nunca sería capaz de formalizar o incluso conscientemente encontrar. Las cosas se vuelven intuitiva.

O puede que no. Algunos objetos son muy difíciles de imaginar, incluso cuando me puedo imaginar una similar más simple objeto. Entonces me recurrir a proyecciones, cortes, trato de incorporar el tiempo o los colores. Así, en lugar de partir de la construcción de la intuición a través de la cada vez más compleja secuencia de ejemplos concretos, se observo una simple parte de un complejo de por ejemplo. De nuevo, estoy hablando principalmente acerca de la geometría en alta dimensión, pero similar enfoque de obras en general.