¿Qué funciones de una variable son derivadas?

Question

Esto viene motivado por este reciente Pregunta MO .

¿Existe una caracterización completa de esas funciones $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ que son derivadas puntuales de alguna función diferenciable en todas partes $g:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ ?

Por supuesto, la continuidad es una condición suficiente. La integrabilidad no lo es, porque la integral define una función absolutamente continua, que no tiene por qué ser diferenciable en todas partes. A. Denjoy diseñó un procedimiento de reconstrucción de $g$ donde utilizó la inducción transfinita. Pero no sé si asumió que $f$ es un derivado, o si tuviera la respuesta a la pregunta anterior.

Answer 1

No puedo afirmar que tenga muchos conocimientos al respecto, pero me han dado a entender que la clase de las funciones diferenciables (o la clase de las funciones que son derivadas de tales) es realmente bastante desagradable y complicada. Este papel de Kechris y Woodin indica que se trata de teoría de conjuntos descriptiva muy seria: que existe una jerarquía de niveles de complicación indexados por $\omega_1$ (es decir, el conjunto de ordinales contables). Este artículo en línea de Kechris y Louveau también parece pertinente.

Answer 2

He aquí algunas caracterizaciones de los derivados:

1. D. Preiss y M. Tartaglia Sobre la caracterización de los derivados Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 8 (ago., 1995), 2417-2420.

2. Chris Freiling, Sobre el problema de la caracterización de las derivadas , Real Analysis Exchange 23 (1997/98), nº 2, 805-812.

3. Brian S. Thomson, Sobre las sumas de Riemann Bolsa de Análisis Real 37 (2011/12), 1-22. [Puede descargar el Archivo PDF .]

El problema fue planteado por primera vez por W. H. Young. En nuestro artículo sobre los Young incluimos una cita completa en la que se expone su problema;

Bruckner, Andrew M. y Thomson, Brian S. Contribuciones variables reales de G. C. Young y W. H. Young. Expo. Math. 19 (2001), no. 4, 337-358. [Puede descargar el Archivo PDF .]

Answer 3

Eche un vistazo a este libro de Andrew M. Bruckner : Diferenciación de funciones reales .

El capítulo siete trata de El problema de la caracterización de los derivados .

Hay un revisado por Daniel Waterman .

También puede echar un vistazo a Homeomorfismos en análisis por Goffman , Nishiura y Waterman .

Answer 4

Un resultado que está relacionado con su pregunta (el "casi en todas partes" es la diferencia) :

Toda función integrable de Henstock-Kurzweil en [a,b] es en casi todas partes la derivada de una función diferenciable, e inversamente, toda derivada es integrable de Henstock-Kurzweil.

Más información aquí : http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/