Muchas superficies planas totalmente geodésicas ⇒ planas?

Question

Deje $M$ 4-dimensional de Riemann colector. Asumir que hay un gran número (digamos 100) de plano totalmente geodésica de 2 dimensiones de las superficies pasando a través de un punto de $p\in M$ y asumir que los planos tangentes a $p$ encuentran en posición general. Además, suponga que la curvatura seccional es $\ge 0$ (o $\le 0$) en un barrio de $p$.

Es cierto que $p$ admite un piso de barrio?

Comentarios.

• Estas condiciones facilidad implica que $M$ tiene curvatura cero tensor en $p$.
• En la dimensión 3, la respuesta es "SÍ"; de ello se deduce ya que estas superficies tienen que cruzan a lo largo de geodesics.
• Si la dimensión es ≥ 4, no veo ninguna razón por la que la respuesta debe ser "SÍ", pero no veo un contraejemplo.
• Para el "SÍ"de respuesta, usted puede considerar el más fuerte de la enfermedad, dicen curvatura operador es $\ge 0$ (o $\le 0$) ni nada de eso.
• Una pregunta relacionada: supongamos que usted tiene una métrica en $\mathbb R^m$ con curvatura seccional $\ge 0$ (o $\le 0$). Asumir que la métrica es la norma Euclidiana fuera de conjunto abierto $\Omega\subset \mathbb R^m$ y dentro de $\Omega$ escalar de curvatura no tiene ceros. ¿Qué se puede decir acerca de la $\Omega$? (Desde el boceto a continuación, se sigue que uno no puede tocar a $\Omega$ por afín 2-plano en $\mathbb R^m$; es probable que cualquier componente de la intersección de $\Omega$ con un 2-plano tiene que ser sin límites; es todo?)

Boceto para el caso de $\dim M=3$.

La siguiente observación es debido a la S. Buyalo. Usted puede leer poco más en nuestra reciente preprint "Barrer de la sección transversal de curvatura".

Suponga que el número de superficies es de 3. En general, la posición de las superficies se cruzan de a pares en 3 distintas geodesics, dicen $\alpha_1$, $\alpha_2$ y $\alpha_3$. Considere un triángulo $\triangle x_1x_2x_3$ tal que $x_i\in\alpha_i$ e $x_i\approx p$. Es fácil ver que en la $\triangle x_1x_2x_3$ los ángulos y su modelo de ángulos son iguales. La curvatura de la condición implica entonces que este triángulo es plana.

Triángulos de barrido de un plano octaédrico barrio de $p$.

Answer 1

Editado 2 de enero de 2011 a aclarar:

No sé si hay establecido un significado para la posición general en este contexto: sería bueno tener una clarificación de la terminología (como hemos visto a partir de los comentarios de la discusión). Una posible definición es que un conjunto de subespacios es en topológica de la posición general si por cualquier pequeña perturbación, hay un homeomorphism tomando una configuración a la otra. 2-planos en $\mathbb R^4$, esto significa que cualquiera de los dos se cruzan en un punto. Si se cruzan los subespacios con una pequeña esfera sobre el origen, esto le da un gran círculo en el enlace en $S^3$; para $n$, hay un conjunto finito de posibles tipos de vínculo para estos enlaces.

Ejemplo para topológica de la posición general de

Para topológico posición general, hay un ejemplo relativamente sencillo satisfactoria a la pregunta: tome $n$ complejo 1-dimensiones de los subespacios de $\mathbb C^2$. La intersección con la $S^3$ da $n$ círculos en una de Hopf fibration. Ahora modificar la métrica Euclidiana de $\mathbb C^2$ por el cambio de las métricas de esferas concéntricas a la homogénea métricas en $S^3$ obtenido por mantener el Hopf fibras rígidas, sino que se expande uniformemente sus planos ortogonales por un aumento de la función de radio de $r$. Estas métricas son invariantes por $U(2)$, con valor no positivo de curvatura. (Este comportamiento está estrechamente relacionada con la geometría de $\mathbb{CP}^2$ y de complejo espacio hiperbólico $\mathbb {CH}^2$: la familia de esferas concéntricas en cualquier caso dispone de la misma familia de métricas en $S^3$ hasta una constante que depende del $r$).

Posible más fuerte requisitos para la posición general

En primer lugar, puede ser tentador para fortalecer la condición de topológica de la posición general para exigir que cualquier pequeña perturbación tan no es lineal en el mapa de la realización de un patrón a otro, pero esta condición es excesivamente fuerte. La equivalencia lineal condición se cumple para casi todas las triple de 2 dimensiones de los subespacios de un 4-dimensional espacio vectorial, ya que dos de los subespacios puede ser transformado en ortogonal de planos de coordenadas, con lo cual el tercer subespacio es el gráfico de un mapa de la una a la otra; por una transformación lineal, esto puede ser arreglado para mapa de vectores de la base a vectores de la base. Cuando hay un cuarto en el subespacio, el mapa asociado con el tercer seguido por la inversa de la mapa asociado con la cuarta es lineal en el mapa a partir de un plano a sí mismo, y su polinomio característico es un invariante que varía en cualquier barrio de configuraciones. Nota, sin embargo, que hay abierto conjuntos de cuádruples de 2 dimensiones de los subespacios para que este mapa tiene un par de complejo conjugado autovalores; cuando esto sucede, el cuádruple de subespacios es linealmente equivalente a una cuádruple del complejo 1-dimensiones de los subespacios de $\mathbb C^2$.

Hay muchos intermedios posibles condiciones que pudieran ser impuestas, dependiendo de qué conjunto de situaciones especiales que se centran en. Si se tienen en cuenta todos lineal de los mapas definidos por los triples de aviones, como anteriormente, puede exigir que el rango de cualquier composición es constante en un barrio. Sin embargo, para muchos (la mayoría) de las configuraciones de $n$ aviones, al $n$ es lo suficientemente alta, estos generan un denso conjunto de lineal mapas entre los planos, y las pequeñas perturbaciones pueden cambiar el rango de algo. Una más plausible requisito es que la dimensión de la Zariski de cierre del conjunto de todas las composiciones de estos mapas es constante, o tal vez que la dimensión de la Zariski de cierre del conjunto de todas las composiciones asociadas con triples en un subconjunto permanece constante. Pero esta definición es especial para la configuración de la mitad dimensiones de los subespacios de un espacio tridimensional por lo que no es ideal. No es difícil modificar esto para una más general, pero hay demasiadas opciones posibles: no es auto-evidente que no es un "derecho" a la definición.

Una forma de evitar el problema es reformular la pregunta: ¿existe un conjunto abierto, o un conjunto de medida positiva, o un conjunto genérico (intersección de abiertos densos conjuntos) de $n$ 2 dimensiones de los subespacios de $\mathbb R^4$, de tal manera que _ [una determinada propiedad es true].

Ejemplos de un conjunto de subespacios

Ahora hacer un random $C^2$-pequeña perturbación de la Hopf fibration a ser una foliación de $S^3$ por geodesics, de modo que el plano perpendicular campo $\tau$ es todavía un contacto plano del campo. Podemos construir nuevas métricas en un barrio de la procedencia en $\mathbb R^4$ mediante la modificación de sólo en el 2-planos ortogonales a la familia de las 2-planos que son los conos en estos geodesics, la escala de estos planos por la multiplicación por una función de $f(r)$ que es cóncava hacia arriba (a propósito de curvatura negativa). Si $f$ ha $C^\infty$ contacto para la función constante 1 en $r = 0$, el resultado de la métrica es suave. Es plana en cada plano que es un cono en la hoja de la foliación.

Yo creo que para elegir adecuadamente, $f$ estas métricas tienen valor no positivo de la sección transversal de la curvatura, pero tengo que volver a esto más adelante para la copia de seguridad (o destruirlo), a menos que alguien más lo hará por ti.