Hola a todos. Estoy buscando un libro de texto introductorio sobre teoría de módulos, sobre los antecedentes de la geometría algebraica, he leído Hartshorne capítulo1 ~ 4. ¿podría mostrar algunos buenos libros o hojas de ruta para estudiar la teoría de los módulos que enfatizan el aspecto aritmético?
¿Qué tal el GIT de Mumford? ¿Es un libro de texto introductorio?
¡Muchas gracias!
Ian Morrison escribió algunas buenas lecturas en el libro de Conferencias sobre las superficies de Riemann,Mundo editores de publicaciones Científicas, Actas de la universidad de superficies de Riemann, en 1987, en el ICTM en Trieste. Que fueron concebidas como una introducción informal a los dos detallada de los tratamientos mencionados a continuación por Mumford (l'Enseignement) y Gieseker (Tata).
Hay notas sobre Ravi Vakil la página web de su curso de deformaciones y de los módulos: http://math.stanford.edu/~vakil/727/index.html
Hay un buen tratamiento de los chow coordenadas de una variedad proyectiva en el capítulo 1 del libro Básico de la geometría algebraica por Shafarevich. Esto es muy elemental y legible.
Hay una buena discusión de la existencia del esquema de Hilbert en Mumford del libro de Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica, Anales de estudios de matemática #59. Sofisticado, pero hemos sido capaces de utilizar en un seminario hace mucho tiempo, y tiene algunas buenas comprensión.
Mumford (notas por Morrison) escribí por primera vez el caso de la estabilidad de las curvas de Estabilidad de las Variedades proyectivas, en l'Enseignement mathematique, 1977, basado en una idea de Gieseker.
Luego Gieseker mismo presentó su versión en el Instituto Tata de Bombay (TIFR), y escribió en su serie de conferencias sobre matemáticas y física, #69, 1982.
La presentación original del concepto de la estabilidad de las curvas, debido a Alan Mayer y David Mumford, está en conversaciones por Mayer y Mumford en Woods Hole, de la conferencia de 1964, disponible en James Milne sitio web en Michigan, o que de roy smith (mathwonk) en la Universidad de Georgia.
Como recuerdo, incluso el detallado de las obras por Mumford, (GIT, Enseignement), siempre incluyen algunos ejemplos de introducción y motivación que cualquiera puede leer, así que uno no debe apartarse de la real definitivo funciona completamente. En lo que respecta a la multa recomendaciones anteriores, Mukai es en realidad un libro de texto como lo solicita, y no una monografía como la mayoría de mis recomendaciones aquí, pero que por supuesto hace que sea más largo.
Para los principiantes, me gustaría observar que el Chow enfoque es la caracterización de una variedad proyectiva por todas las líneas reunión, obteniendo así un subconjunto de la Grassmannian de líneas, mientras que la de Hilbert enfoque es describir una variedad por el conjunto de todos los hypersurfaces de fijo en gran medida que la contiene, obteniendo así un subespacio del espacio vectorial de los polinomios, otro Grassmannaian. Luego de caracterizar resumen variedades, primero se escoge a algunos naturales proyectiva de la incrustación, dicen que por un múltiplo de la canónica de la clase, entonces considera el correspondiente Hilbert o Chow esquema, y trata de colapso juntos todos los diferentes incrustaciones de la misma variedad, en GIT mediante la adopción de un cociente por un grupo de acción. Esto nos lleva a singularidades en órbitas que son más pequeñas de lo habitual, es decir, en los puntos con los que no trivial isotropía procedentes de automorfismos de la variedad. Estos isotropía grupos, están incluidos en los datos de los módulos "de pila", pero siempre fueron considerados informativo incluso antes.
Ya que el tema es enorme, esto también ayuda a saber qué aspecto es de interés. Un espacio de moduli generalmente es el conjunto de clases de isomorfismo de los objetos de un tipo dado. Por lo tanto, además de fundamental sutilezas, que "existe" como un conjunto. Entonces el problema es para darle más estructura y para demostrar que tiene algunas propiedades. En la geometría algebraica, a menudo se trata de darle estructura algebraica de espacio, esquema, o cuasi variedad proyectiva, tal vez, progresivamente, en ese orden. Así que el primer trabajo sería definir una estructura natural como resumen topológica del espacio o incluso resumen esquema. El próximo uno quiere capturar a esta estructura por algunos de los "módulos".
Clásicamente, los "módulos" son números que distinguen a no isomorfos objetos, es decir, numérico invariantes tales como las coordenadas en campo, por lo que esto se traduce en la etapa de dar una estructura de quasiprojective variedad. Esto requiere encontrar la incrustación de funciones, o de las secciones de la línea de paquetes que son constantes en clases de equivalencia. Si las clases de equivalencia son las órbitas de un grupo de acción, se busca funciones constantes en las órbitas, es decir, "invariantes", y este es el tema de la "teoría de invariantes".
Desde algebraica proyectiva asignaciones son continuos, su nivel conjuntos son cerrados, por lo que los geométricas invariantes teoría problema surge de que las órbitas están cerrados. Esto nos lleva a diferentes conceptos de la "estabilidad" de los objetos en virtud de una determinada acción, y también, desde el cierre es una noción relativa, de la determinación de ciertas inestable subconjuntos para excluir de modo que el resto de las órbitas de ser cerrada. Este es el tema estudiado por Mumford en la que adaptó las ideas de Hilbert.
Por último, se quiere encontrar un buen geométricas compactification de un determinado espacio de moduli, ya que el conjunto de clases de isomorfismo de un tipo determinado, rara vez es compacto. El método de parametrización un módulos de los espacios por parte de los subconjuntos de Hilbert esquemas, los rendimientos de una natural compactification, desde Hilbert esquemas proyectivos, pero ya que todas las clases de isomorfismo de tipo de original ya estaban presentes antes de compactifying, no está claro qué objetos geométricos de los puntos nuevos agregado corresponden. Esto nos lleva al desafío de identificar el esquema de Hilbert compactification con un carácter más abstracto compactification que añade en degenerada versiones de la original de los objetos geométricos. Estos objetos abstractos son llamados quizás "módulos estable" objetos de la original tipo, y uno debe mostrar este resumen compacto de un espacio puede ser identificado con alguna versión del esquema de Hilbert proyectiva compactified uno.
El concepto de (módulos) estable curvas fue introducido por Mayer y Mumford, y el siguiente trabajo fue mostrar que le da un buen resumen separados compactifiction de M(g). Este es probablemente el contenido de la ponencia de Deligne y Mumford. A continuación, la prueba de que en el hecho de dar un natural proyectiva compactification en el esquema de Hilbert de GIT sentido es aparentemente logrado en las referencias de Mumford y Gieseker.
Aparte de estos aspectos globales de los módulos hay locales de preguntas, tales como ¿cuál es la dimensión de un (componente a) espacio de moduli, o lo que es su espacio de la tangente? Estos son la preocupación de la "deformación de la teoría", o las variaciones locales de la estructura de un objeto dado. Aquí también se distingue en las deformaciones de los objetos originales, por lo general no singular variedades o colectores, como en las obras de Kodaira, a partir de las deformaciones de los degenerados objetos que se incluyen en el límite de la compactification, es decir, las deformaciones de las singularidades. Para el segundo, es un buen Tata conferencia nota de M. Artin, y un libro reciente de Greuel, Lossen, y Shustin. Todas las fuentes se basan, fundamentalmente, en el inédito 1964 de la tesis doctoral de M. Schlessinger en la universidad de Harvard.
Después de todos estos fundamentos se resuelven, se sigue para calcular las propiedades invariantes de la resultante de los módulos de los espacios, de sus singularidades, canónica de la clase, de Kodaira dimensión, Picard grupo, cohomology, anillo de chow, racional curvas en ellos,..... Para M(g)de la barra de esto es todavía va en progreso.
Sin embargo me parece que la mayoría de las respuestas, especialmente la mía, que estén orientados a la geométrica preguntas como oposición a la solicitud de la aritmética queridos. Se debe sugerir algunas obras decir por Faltings y Chai?
Como para algo informal (y en su mayoría breve), introducción a los espacios de moduli, ver
Introducción a los módulos de espacios por Han-Bom Luna
El Espacio de Moduli de Curvas y Su Tautológica Anillo de Ravi Vakil en los Avisos de la AMS
Una introducción a los módulos de espacios de curvas por Maarten Hoeve
Puntos racionales en los Módulos de Espacios de Curvas por Dave Jensen
Un minicourse en los módulos de curvas por E. Looijenga
Véase también el BAMS papel de las Perturbaciones, las deformaciones y variaciones (y `casi-accidentes") en la geometría, la física y la teoría de los números por Barry Mazur, en particular, las Secciones 4 y 5.
Una introducción muy legible es S.Mukai, una introducción a las invariantes y módulos
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