Walter Van Assche ofrece un relato moderno de Aproximación de Pade una variante de estos se utilizó en la prueba de que e es trascendental .
En el caso de que $f(z)$ es la transformada de Cauchy de una medida compactamente soportada $\mu(x)$ ,
\[ f(z) = \int \frac {1}{z-x} d \mu (x) \]
Entonces $P_n(x)$ es un polinomio ortogonal con respecto a $\mu(x)$ mientras que
\[ Q_{n-1}(z) = \int_a ^b \frac {P_n(z) - P_n(x)} {z-x} \N -, \mu (x) \]
Entonces aproximamos $f(z)$ como una función racional
\[ P_n(z) - f(z) Q_{n-1}(z) = \int_a ^b \frac {P_n(x)}{z-x}\N-, d \mu (x) \]
Entonces existe una función $r(z)$ tal que la convergencia puntual de los aproximantes de Pade es exponencial a medida que nos movemos por la diagonal.
\[ \lim_ {n \to \infty } \left | f(z) - \frac {Q_{n-1}(z)}{ P_n(z)} \right |^{1/n} = \frac {1}{r^2} \]
RESPUESTA ORIGINAL
Los coeficientes de la serie $a_1, a_2, a_3, \dots$ son una cantidad infinita de datos. El radio de convergencia es una propiedad de esta secuencia $1/R = \limsup |a_n|^{1/n}$ utilizando el prueba de raíz .
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La aproximación de Pade se define el exterior del radio de convergencia de la serie de Taylor
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El Pade $[m/n]_f(x)$ y las aproximaciones de Taylor $[(m+n)/0]_f(x)$ Estoy de acuerdo por encargo $O(x^{m+n+1})$ .
Un artículo de Hubert S. Wall, que data de 1929, relata Aproximaciones de Pade, el problema del momento de Stieltjes y las fracciones continuas .
EDITAR : Mi opinión es que la aproximación de Pade es no siempre mejor que la serie Taylor.
Como contraejemplo encontremos $[0/1]_{z+1}$ :
\[ z + 1 \approx \frac {1}{1-z} \mod z^2 \]
La serie de Taylor es exacta y la aproximación 1-1 diverge.
En su ejemplo, $\sqrt{\frac{1+\frac{z}{2} }{1+2z}} \to \frac{1}{2}$ para valores grandes y es probable que la aproximación 1,1 haga lo mismo, por lo que es un buen ajuste global. Las aproximaciones 0,2 o 2,0 tendrán un comportamiento global diferente. No he podido encontrar ninguna comparación precisa, en general.
Se sabe que las fracciones continuas son " mejores aproximaciones " en cierto sentido.
La mejor aproximación racional a un número real x es un número racional d/n, d > 0, que está más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador.
El ejemplo de Wikipedia es una aproximación
\[ 0.84375 = \cfrac {1}{1 + \cfrac {1}{5 + \cfrac {1}{2 + \cfrac {1}{2}}}} = [0;1,5,2,2]\]
Podemos detenernos en medio de este proceso para obtener la fracción cerrada dada una cota superior en el denominador.
\[ 0.84375 \approx 1, \frac {5}{6}, \frac { 11}{13 } , \frac {27}{32}\]
Las fracciones farias hasta el denominador 6 son
$$0,\frac{1}{6}, \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\mathbf{\frac{27}{32}},\frac{5}{6} 1$$
Aproximaciones de Pade son las mejores aproximaciones de las funciones y se pueden calcular utilizando una especie de fracción continua.
Se obtiene una aproximación $\frac{p(x)}{q(x)}$ para determinados grados $m = \deg p, n = \deg q$ . Usted está tratando de encontrar un polinomio mayor común divisor entre su serie de Taylor y un monomio,
\[ \gcd (T_{m+n}(x), x^{m+n+1} ) \]
Puedes hacer este algoritmo de Euclides haciendo una división larga polinómica y tomando el resto en cada paso:
\[ \frac {p(x)}{q(x)} \equiv T_{m+n}(x) \mod x^{m+n+1} \N - [en el caso de que se trate de una persona con un problema de salud mental, el problema es que no se le puede dar un tratamiento.]
Esta es la tabla para $e^z$ de Wikipedia: (también Aproximación de Pade a la función exponencial )
\[ \begin {array}{c||c|c|c} & 0 & 1 & 2 \\\\ \hline \hline 0 & \frac {1}{1} & \frac {1}{1-z} & \frac {1 }{1 - z + \frac {1}{2}z^2 } \\\\ \hline 1 & \frac {1+z}{1} & \frac {1+ \frac {1}{2} z}{ 1- \frac {1}{2} z} & \frac {1 + \frac {1}{3}z }{ 1 - \frac {2}{3}z + \frac {1}{6}z^2 } \\\\ \hline 2 & \frac {1 - z + \frac {1}{2}z^2 }{1 } & \frac { 1 - \frac {2}{3}z + \frac {1}{6}z^2 }{1 + \frac {1}{3}z } & \frac { 1+ \frac {1}{2} z + \frac {1}{12} z^2}{ 1- \frac {1}{2} z + \frac {1}{12} z^2 } \end {array} \]
Intentemos resolver los pasos para m=2, n=2 (no en Wikipedia). Se trata del GCD del 4º polinomio de Taylor $1 + z + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{6}z^3 + \frac{1}{24}z^4$ y $z^{5}$ .
\[ \frac {1}{24} z^5 = (z-4) \left (1 + z + \frac {1}{2}z^2 + \frac {1}{6}z^3 + \frac {1}{24}z^4 \right ) + \left (4 + 3z + z^2 + \frac {1}{6}z^3 \right ) \]
\[ 1 + z + \frac {1}{2}z^2 + \frac {1}{6}z^3 + \frac {1}{24}z^4 = \left ( \frac {1}{4}z - \frac {1}{2} \right ) \left ( 4 + 3z + z^2 + \frac {1}{6}z^3 \right ) + \left ( 3 + \frac {3}{2}z + \frac {1}{4}z^2 \right ) \]
\[ 4 + 3z + z^2 + \frac {1}{6}z^3 = \frac {2}{3}z \left ( 3 + \frac {3}{2}z + \frac {1}{4}z^2 \right ) + (z+4) \]
\[ 3 + \frac {3}{2}z + \frac {1}{4}z^2 = \left ( \frac {1}{4}z + \frac {1}{2} \right )(z+4) + 1\]
Utilizando las dos primeras divisiones largas, obtenemos la aproximante de Pade (2,2).
\[ 1 + z + \frac {1}{2}z^2 + \frac {1}{6}z^3 + \frac {1}{24}z^4 \approx \frac { 3 + \frac {3}{2}z + \frac {1}{4}z^2 }{(z-4) \left ( \frac {1}{4}z - \frac {1}{2} \right )+1 } = \frac { 1+ \frac {1}{2} z + \frac {1}{12} z^2}{ 1- \frac {1}{2} z + \frac {1}{12} z^2 } \]
Alternativamente, compare los coeficientes de su aproximación racional y del polinomio $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 \approx \frac{p_0 + p_1 x + p_2 x^2}{q_0 + q_1 x + q_2 x^2 } $ Entonces puedes resolver el sistema de ecuaciones: \begin {eqnarray*} a_0 &=& p_0 \\\\ a_1 + a_0 q_1 &=& p_1 \\\\ a_2 + a_1 q_1 + a_0 q_2 &=& p_2 \\\\ a_3 + a_2 q_1 + a_1 q_0 &=& 0 \\\\ a_4 + a_3 q_1 + a_2 q_0 &=& 0 \end {eqnarray*}
La regla de Cramer te da la fracción correcta al final:
\[ \frac { \left | \begin {array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\\\ a_2 & a_3 & a_4 \\\\ a_0 x^2 & a_0 x + a_1 x^2 & a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \end {array} \right |} { \left | \begin {array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\\\ a_2 & a_3 & a_4 \\\\ x^2 & x & 1 \end {array} \right |} = \frac { \left | \begin {array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/6 \\\\ 1/2 & 1/6 & 1/24 \\\\ x^2 & x + x^2 & 1 + x + \frac {1}{2} x^2 \end {array} \right |} { \left | \begin {array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/6 \\\\ 1/2 & 1/6 & 1/24 \\\\ x^2 & x & 1 \end {array} \right |}\]
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¿Qué quiere decir con "mejor" aproximación? ¿Se refiere a una aproximación puntual? $L^1, L^2$ etc
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Algo a tener en cuenta es que la velocidad a la que se reduce el error de las sumas parciales de la serie de Taylor está estrechamente relacionada con la distancia al polo/singularidad más cercano del punto de evaluación. Si la singularidad más cercana es un polo, su factorización mejora la tasa de convergencia, ya que las otras singularidades están (generalmente) más lejos. Esto es esencialmente lo que hace la aproximación de Padé. "Adivina" dónde están los polos más cercanos y los factoriza antes de proceder a una expansión de Taylor.
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Y de hecho, Padé podría no ser muy bueno si la singularidad más cercana es un punto de ramificación en lugar de un polo.