¿Cómo se relacionan el espacio de clasificación de$E_8$ y$K(\mathbb{Z},4)$?

Question

Recientemente he escuchado el siguiente hecho :

Hasta el $15$th esqueleto, la clasificación de espacio $BE_8$ e $K(\mathbb{Z},4)$ son homotopy equivalente?

Tengo dos preguntas sobre esto :

(1) ¿hay alguna forma fácil de ver esto? Por supuesto, conocer los primeros catorce homotopy grupos de $E_8$ es suficiente, pero entonces la pregunta es ¿cómo calcularlos?

(2) ¿existe alguna explicación factible que sugiere que $4$th cohomology clases (posiblemente relacionados con la gerbes), es decir, elementos en $H^4(X;\mathbb{Z})$, surgen de las consideraciones físicas y si $X$ es de dimensión $14$ o menos, entonces estamos clasificando $E_8$-paquetes en $X$, lo que sugiere que el $E_8$ surge de las consideraciones físicas?

La última pregunta es un poco vago, pero los punteros sería genial!

Answer 1

Dada una simple Mentira grupo $G$, se puede comprobar en qué medida $G$ es de hacer un $K(\mathbb Z,3)$ observando el lugar donde los afín vértice consigue pegado en el diagrama de Dynkin, y la medición de la longitud de la cola. Para $E_8$, es el más largo, y por lo $E_8$ es la mejor aproximación posible a un $K(\mathbb Z,3)$.

$$\bullet - \bullet - \stackrel{\stackrel{\displaystyle\bullet}|}{\bullet} - \underbrace{\bullet - \bullet - \bullet - \bullet}_{\text{long tail}} - \circ$$

Esto se hace mediante el etiquetado de las células de los afín Grassmannian $\Omega G$ según los datos del dynlin Diagrama, y comprobar en qué medida usted necesita ir a por $\Omega G$ a empezar a buscar diferentes de $\mathbb C \mathbb P^\infty$.

---

el afín Grassmannian $\Omega G$ es un muy buen espacio: es un complejo (ind-)variedad, y es estratificado por finito dimensionales de las células. En particular, es natural CW-descomposición. Cada una de las células de $\Omega G$ es isomorfo a $\mathbb C^n$, y, en particular, de incluso (real) de la dimensión.

Por otra parte, $\Omega G$ es un coadjoint órbita de las infinitas dimensiones de la Mentira de grupo $S^1\ltimes \widetilde {LG}$. Aquí, la tilde se refiere a la universal central de extensión del bucle grupo $LG$, e $S^1$ hechos por reparametrizing los bucles.

La inclusión $\Omega G\to Lie(S^1\ltimes \widetilde {LG} )^*$ puede estar compuesta con la proyección $$Lie(S^1\ltimes \widetilde {LG})^* \twoheadrightarrow (\mathfrak t_{S^1\ltimes \widetilde {LG}})^* \cong \mathfrak t^* \oplus \mathbb R \oplus \mathbb R$$ (here $\mathfrak t$ denotes the Lie algebra of the maximal torus $T$ of $G$). Resulta que el compuesto de tierras en una copia traducida de $\mathfrak t^* \oplus \mathbb R$, y así uno consigue mapa $$\mu:\Omega G \a \mathfrak t^* \oplus \mathbb R$$ llamado el momento de mapa (de la $T_{S^1\ltimes LG}$ acción).

Lo que es importante, es que el espacio $t^* \oplus \mathbb R$ tiene una base natural que es indexada por los vértices de la extensión del diagrama de Dynkin: esos son los simples coroots. Voy a denotar cada celda por el momento la imagen del mapa en $\mathfrak t^* \oplus \mathbb R$ de su punto central (en la base de la simple coroots).

Ahora, permítanme especializarse para el caso de $G=E_8$. Aquí vamos:

0-dimensional de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 \end{de la matriz}$

2-dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 0 - 0 - 0 - 0 - 1 \end{de la matriz}$

4-dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

6-dimensional de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 0 - 0 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

8-dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 0 - 1 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

10 dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{0} - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

12 dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{1} - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

14 dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 0 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 1}|}{1} - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

otros 14 dimensiones de la célula: $\qquad\begin{matrix} 0 - 1 - \stackrel{\stackrel{\displaystyle 0}|}{1} - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \end{de la matriz}$

Como se puede ver, $H^* (\Omega G) = H^* (\mathbb C \mathbb P^\infty )$ para $*\le 13$. Aún mejor: las variedades $\Omega G$ e $\mathbb C \mathbb P^\infty$ son isomorfos en las dimensiones complejas $\le 6$ [añade después: me tomo de la espalda de esa afirmación. Yo no konw como para demostrar que las variedades de $\Omega G$ e $\mathbb C \mathbb P^\infty$ son isomorfos en las dimensiones complejas $\le 6$ (que podría ser verdad)]. En particular, los CW-complejos de $\Omega G$ e $\mathbb C \mathbb P^\infty$ son isomorhpic dimensiones de $\le 13$. Tomando la clasificación de los espacios, tenemos que la CW-complejos de $G$ e $K(\mathbb Z,3)$ son isomorfos en dimensiones $\le 14$.

Answer 2

Esta respuesta es sólo un poco de un sketch de (2), porque ha sido un tiempo desde que he pensado/oído acerca de esto. Y me interpretar 'las consideraciones físicas' débilmente, ya que todo esto viene de la teoría de cuerdas, cuyo estatus como una teoría física que está abierto a debate (al menos, nada por debajo proviene de experimentos!).

Hay, en M-teoría, un local-definido 3-formulario "alta de conexión", cuyo "curvatura" es una 4-forma. Esto está relacionado con la existencia de un paquete de 2-gerbe/círculo de 3 bundle, cuya característica de la clase es de 4 formulario. Realmente todo lo que la gente ve de esto es el bajo límite de energía que es de 11 dimensiones de supergravedad. Desde el espacio-tiempo $X^{11}$ tal y como se concibe en la M-teoría es de 11 dimensiones, cualquier clasificación de mapa de $X^{11} \to K(\mathbb{Z},4)$ para una de estas estructuras superiores no sería capaz de distinguir $K(\mathbb{Z},4)$ de $BE_8$. Así, el paquete de 2-gerbe podría secretamente ser un $E_8$-bundle.

Alternativamente, en los regulares de la teoría de cuerdas tiene la Kalb-Ramond de campo y su $H$-flujo, que es la 3-forma, y que comúnmente se entiende por la curvatura de 3 formulario asociado a un paquete de gerbe/círculo 2-paquete. Sin embargo exactamente el mismo argumento, como antes, significa que tal vez lo que está pasando es que hay un $\Omega E_8$-haz en vez de un paquete de gerbe (este es el punto de vista de la desposé conmigo por Jarah Evslin un par de años atrás). Debido a la heterotic la teoría de cuerdas $E_8\times E_8$, y varios modelos con compactifications, no es totalmente razonable esperar que la $\Omega E_8$ a su vez en algún momento.

Cabe señalar que no creo que estas ideas son ampliamente aceptadas, aunque.

Edit: añado que la única fuente que tengo para esto es varias charlas en menos de la mitad que hace una década. Hay un gran trabajo por parte de otros que nunca antes había oído, y estoy seguro de que no tengo idea de quién hizo qué.

En cuanto a (1), que va, que la versión de $E_8$ después? Asumiendo que esto es un pacto real Mentira grupo, es de 2 conectados y tenemos $\pi_3(E_8) = \mathbb{Z}$. Después de eso no estoy seguro de cómo la homotopy grupos se calculan. Morse teoría?

Answer 3

Además de los trabajos mencionados en David muy útil la respuesta me permito sugerir que usted tome una mirada en http://arXiv.org/pdf/hep-th/0312069 por Diaconescu, Moore y Liberado. Dan un matemáticamente precisa definición de la M-teoría de la 3-forma en términos de Chern-Simons plazo de $E_8$ teoría de gauge y aplicar el formalismo de estudio M-teoría sobre los colectores con el límite. Mi entendimiento es que el formalismo "trabaja" en el sentido de dar matemáticamente bien definidos respuestas que están de acuerdo con diversas limitaciones físicas, pero si el $E_8$ medidor de campo es fundamental o no, sigue siendo difícil de alcanzar.

Answer 4

re 1): André respuesta es excelente, pero sólo para el registro, original de referencias de la determinación de la homotopy grupos de E8 está aquí: http://ncatlab.org/nlab/show/E8#HomotopyGroupsReferences

re 2):

Una forma de pensar sobre el fenómeno de la $B E_8 \simeq_{15} B^3 U(1) \simeq K(\mathbb{Z},4)$ desde el punto de vista de la teoría de cuerdas es compararlo con

a) la equivalencia $B \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \simeq B^2 U(1) \simeq K(\mathbb{Z},3)$ que controla Liberado-Witten anomalía de la cancelación de más de D-branes

b) generalizada de la geometría compleja y excepcional generalizada de la geometría que controla varias otras estructuras geométricas en la teoría de cuerdas.

En todos estos casos, uno está mirando a la geometría, la cual surge a partir de la reducción de la estructura de los grupos a lo largo de los mapas de $G \to K$ de los grupos con la propiedad de que son débiles homotopy equivalencias.

Esto es cierto para las inclusiones de máxima compacto subgrupos que el control generalizado complejo y excepcional generalizada de la geometría, por lo tanto el U-dualidad de la simetría de las teorías de supergravedad en varias dimensiones.

Observe que estas inclusiones están lejos de ser equivalencias como morfismos de Mentira grupos. Pero ellos son equivalencias de la base de espacios topológicos.

Esta situación ahora tiene un buen analógico en la más suave de la geometría, que "explica" el papel de la $E_8$.

Es decir, no es un suave 3-grupo de $\mathbf{B}^2 U(1)$ (un suave grupo 2 de la pila) y la universal de grado de 4 clases en $B E_8$ tiene un suave refinamiento a un morfismos de lisa de 3 grupos (grupo 2 pilas)

$$\Omega \mathbf{a} : E_8 \a \mathbf{B}^2 U(1) .$$

Hay una mayor analógica de la noción de "reducción de la estructura de los grupos" a lo largo de más mapas, y este controla la geometría de la supergravedad C-campo. Para la comparación, hay igualmente una de morfismos de lisa 2-grupos (suave grupo pilas)

$$\Omega \mathbf{dd} : \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \a \mathbf{B}U(1)$$

y su "inducida por la geometría generalizada" por "reducción de más de la estructura de los grupos de" controles precisamente el Chan-Paton bultos en D-branes retorcido por el $B$-campo.

Ambos de estos morfismos de smoth superior de las pilas de convertirse en equivalencias de espacios topológicos bajo geométricas realización (la primera en 15-coskeleta, por tanto, con la correspondiente spacetimes). Así que podemos pensar en esto como diciendo que:

"La Mentira de grupo $E_8$ es una generalización de la máxima compacto subgrupo de la suave 3-grupo de $\mathbf{B}^2 U(1)$. La geometría de la $C$-campo es el generalizadas de la geometría' controlados por éste de la "inclusión"."

Para más detalles sobre todo esto, ver alrededor de la sección 4.3 de

http://arxiv.org/abs/1201.5277

y el gran resumen de las tablas en la sección 4.4.1 de

http://ncatlab.org/schreiber/files/cohesivedocumentv032.pdf

Answer 5

Para (1), después de buscar un poco, creo que la referencia original en la física, la literatura es Witten del "Topológico Herramientas en Diez Dimensiones de la Física", Int. J. Mod. Phys. 1, 39 (1986). Creo que hay una referencia al hecho acerca de homotopy grupos que hay, pero yo no lo he leído en años.

Sólo para expandir un poco de Jeff respuesta para (2), M-teoría contiene tres formulario con cuatro formulario de curvatura. Horava y Witten ducha que uno podría asociar el $E_8 \times E_8$ heterotic cadena con M-teoría de la $S^1/\mathbb{Z}_2$. Los límites de cada una, $E_8$ teoría de gauge en ellos. Pronto después de, Witten utilizado $E_8$ paquetes para determinar la cuantificación de los cuatro forman en M-teoría en hep-th/9609122. Esta cuantificación es, curiosamente, pasó de ser integral. $E_8$ índice de la teoría fue utilizada de forma espectacular para comparar las funciones de partición de las zonas IIA y M-teoría en la descomunal papel de Diaconsecu, Moore y Witten, hep-th/0005090. Como Jeff dice, el papel de Diaconescu, Moore y Liberado es la manera más moderna de mirar el tema mediante el uso de (desplazado) diferencial cohomology. Una de las conclusiones de ese documento es que no sé si el uso de $E_8$ paquetes para la cuantización de la M-teoría de las cuatro formas es real o es solo un práctico truco. Pero dado que las otras formas de $E_8$ parece estar colgando alrededor de la M-teoría (por ejemplo, la división real de la forma de $E_8$ se muestra cuando compactify M-teoría de la $T^8$), supongo que el primero.