Categoría abeliana cocompleta pero no completa

Question

Esto es un duplicado de la siguiente pregunta a la que no he recibido respuesta: https://math.stackexchange.com/questions/238247/complete-but-not-cocomplete-category

Dejemos que $\mathfrak C$ sea una categoría abeliana y cocompleta. Si $\mathfrak C$ tiene un generador y los colímites son exactos (es decir, $\mathfrak C$ es Grothendieck) entonces $\mathfrak C$ es la localización torsionista de una categoría completa de módulos (por el Teorema de Gabriel-Popescu) y por tanto también es completa. De todos modos, no conozco ningún contraejemplo que demuestre que una categoría abeliana cocompleta puede no ser completa. Así que mi pregunta es: ¿podrías proporcionar tal ejemplo o una referencia a una prueba de la bicompletitud de las categorías abelianas cocompletas?

Mi primera idea fue buscar contraejemplos en subcategorías no Grothendieck de una categoría Grothendieck. Después de algunos intentos me di cuenta de lo siguiente

Lema. Dejemos que $\mathfrak C$ sea una categoría de Grothendieck y $\mathcal T$ una subcategoría de torsión hereditaria completa (es decir $\mathcal T$ es cerrado bajo la toma de subobjetos, objetos cocientes, extensiones y coproductos). Entonces $\mathcal T$ es bicompleto.

Prueba. Dejemos que $T:\mathfrak C\to \mathcal T$ sea el functor de torsión hereditario asociado a $\mathcal T$ . Ahora, dada una familia { $C_i:i\in I$ } de objetos en $\mathcal T$ podemos tomar el producto $(P,\pi_i:P\to C_i)$ de esta familia en $\mathfrak C$ . Afirmamos que $(T(P), T(\pi_i))$ es un producto en $\mathcal T$ . En efecto, dejemos que $X\in \mathcal T$ y elija los mapas $\phi_i:X\to C_i$ . Por la propiedad universal de los productos en $\mathfrak C$ existe un morfismo único $\phi:X\to P$ tal que $\pi_i\phi=\phi_i$ para todos $i\in I$ . Ahora bien, como $X\in\mathcal T$ existe un mapa inducido $T(\phi):X\to T(P)$ que es claramente el único mapa posible que satisface $T(\pi_i)T(\phi)=T(\phi_i)=\phi_i$ . \\\

Por tanto, hay muchas categorías abelianas bicompletas que no son de Grothendieck.

EDIT: nótese que en el lema nunca utilizamos la hipótesis de que la subcategoría $\mathcal T$ es cerrado bajo la toma de extensiones o subobjetos. De hecho, si $\mathcal T$ es simplemente cerrado bajo la toma de coproductos y cocientes, se define el functor $T:\mathfrak C\to \mathcal T$ tal que, para todo objeto $X\in\mathfrak C$ , $T(X)\in \mathcal T$ es la unión directa de todos los subobjetos pertenecientes a $\mathcal T$ (imagen (que es un cociente) del coproducto de todos los subobjetos de $X$ perteneciente a $\mathcal T$ bajo el mapa universal inducido por las inclusiones de los subobjetos en $X$ ). Claramente $T(X)$ es totalmente invariable como subobjeto de $X$ (por el cierre de $\mathcal T$ bajo la toma de cocientes y la construcción de $T$ ) y así $T$ puede definirse sobre morfismos por restricción. También está claro que $T(X)=X$ si $X\in\mathcal T$ por lo que la demostración del lema se puede adaptar fácilmente a este caso.

OBSERVACIÓN: las nuevas hipótesis relajadas del lema nos permiten excluir otros ejemplos "exóticos"... en particular, si se quiere tomar la subcategoría abeliana de todos los objetos semisimples de una categoría de Grothendieck dada, ésta es cerrada bajo coproductos y cocientes.

Answer 1

Creo que tengo un ejemplo.

Fijar una cadena de campos $k_\alpha$ indexado por ordinales $\alpha$ , donde $k_\alpha\subset k_\beta$ es una extensión de campo infinita para todos los pares $\alpha<\beta$ de los ordinales.

Primero definiré una "categoría abeliana" que tiene grandes conjuntos Hom.

Un objeto $V$ consistirá en un $k_\alpha$ -espacio vectorial $V(\alpha)$ para cada ordinal $\alpha$ junto con un $k_\alpha$ -mapa lineal $v_{\alpha,\beta}:V(\alpha)\to V(\beta)$ para cada par $\alpha<\beta$ de ordinales, tal que $v_{\beta,\gamma}\circ v_{\alpha,\beta}=v_{\alpha,\gamma}$ siempre que $\alpha<\beta<\gamma$ .

Un morfismo $\theta:V\to W$ consistirá en un $k_\alpha$ -mapa lineal $\theta_\alpha:V(\alpha)\to W(\alpha)$ para cada $\alpha$ , de tal manera que $w_{\alpha,\beta}\circ\theta_\alpha=\theta_\beta\circ v_{\alpha,\beta}$ para todos $\alpha<\beta$ .

Ahora digamos que un objeto $V$ es " $\alpha$ -bueno" si, para cada $\beta>\alpha$ , $V(\beta)$ se genera como un $k_\beta$ -por la imagen de $v_{\alpha,\beta}$ y que $V$ es "bueno" si es $\alpha$ -bueno para algunos $\alpha$ . Si $V$ es $\alpha$ -bueno, entonces cualquier morfismo $\theta:V\to W$ se determina por $\theta_\gamma$ para $\gamma\leq\alpha$ por lo que la subcategoría completa $\mathfrak{C}$ de los objetos buenos tiene pequeños Hom-sets.

Es sencillo comprobar que $\mathfrak{C}$ es una categoría abeliana, y tiene coproductos pequeños de la manera obvia, donde $\left(\coprod_{i\in I} V_i\right)(\alpha)=\coprod_{i\in I} V_i(\alpha)$ .

Afirmo que $\mathfrak{C}$ no tiene todos los productos pequeños.

Para cualquier $\alpha$ , dejemos que $P_{\alpha}$ sea el ( $\alpha$ -bueno) objeto con $$P_\alpha(\beta)=\begin{cases}0&\mbox{if }\beta<\alpha\\k_\beta&\mbox{if }\alpha\leq\beta\end{cases}$$ y los mapas de inclusión evidentes. Entonces, para cualquier objeto $W$ , $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(P_\alpha,W)$ es naturalmente isomorfo a $W(\alpha)$ (es decir, $P_\alpha$ representa el functor $W\mapsto W(\alpha)$ de $\mathfrak{C}$ a $k_\alpha$ -espacios vectoriales), y si $\alpha<\beta$ entonces el mapa $$W(\alpha)=\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(P_\alpha,W)\to\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(P_\beta,W)=W(\beta),$$ inducido por la inclusión obvia $P_\beta\to P_\alpha$ , es sólo $w_{\alpha,\beta}$ .

Supongamos que $W$ eran el producto en $\mathfrak{C}$ de un número contable de ejemplares de $P_0$ . Como es un objeto de $\mathfrak{C}$ , $W$ debe ser $\alpha$ -bueno para algunos $\alpha$ .

Entonces $$W(\alpha)=\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(P_\alpha,W)=\prod_{i\in\mathbb{N}}k_\alpha$$ y para $\beta>\alpha$ $$W(\beta)=\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(P_\beta,W)=\prod_{i\in\mathbb{N}}k_\beta.$$

Pero entonces $W(\beta)$ no se genera como $k_\beta$ -por la imagen del mapa natural $w_{\alpha,\beta}:W(\alpha)\to W(\beta)$ ya que $k_\beta$ es una extensión infinita de $k_\alpha$ , contradiciendo la $\alpha$ -bueno de $W$ .

Answer 2

Lo siguiente no da un ejemplo como se requiere, pero elimina algunos candidatos. Si $\scr A$ es una categoría aditiva (no necesariamente abeliana) que es completa, bien potenciada y tiene un cogenerador entonces $\scr A$ tiene coproductos. De hecho, $\scr A$ satisface las hipótesis del Teorema del Funtor Adjunto Especial de Fred (véase Adamek Rosicky, Locally Presentable and Accessible Categories, Sección 0.7). Así, todo functor que preserva los límites es un adjunto derecho. Sea $X_i\in\scr A$ , $i\in I$ sea un conjunto de objetos. El functor $F=\prod_{i\in I} \scr {A}(X_i,-):{\scr A}\to \mathfrak {A}\mathfrak{b}$ preserva los límites, por lo que tiene un adjunto izquierdo $G$ . Directamente $F$ está representado por el objeto $G(\mathbb Z)$ que tiene que ser isomorfo a $\coprod_{i\in I}X_i$ . Lo mismo ocurre si trabajamos con categorías no aditivas, pero sustituyendo la categoría de grupos abelianos por la de conjuntos.

En conclusión, si $\scr A$ tiene además push-outs (o equivalentemente coequivalentes) entonces $\scr A$ es cocompleta. Obsérvese que una categoría abeliana tiene siempre coquillas, por tanto coequipadores.

Answer 3

Según Weibel, la categoría de grupos abelianos de torsión es cocompleta pero no completa. No se ofrece ninguna prueba. pg. 426 de ese libro suyo

Answer 4

Comprender el principio de incertidumbre sólo implica aceptar la idea de que, a pequeñas escalas, las partículas elementales se comportan como ondas. El principio de incertidumbre es una propiedad bien conocida de las ondas.

Una de las consecuencias de esta idea es que la posición y la longitud de onda no pueden medirse con una precisión infinita simultáneamente. Imagina, en primer lugar, que tienes una onda que se parece a una curva de campana (que sube y baja rápidamente alrededor de un lugar determinado). Si le preguntara dónde está la onda, señalaría rápidamente el pico. Sin embargo, la longitud de onda está un poco menos definida, por lo que sólo podrías decirme cuál es la anchura del pico, que es sólo una estimación aproximada de la longitud de onda. Del mismo modo, si tuviéramos una onda periódica (una sinusoide, por ejemplo). Sería fácil decirme cuál es la longitud de onda de la onda mediante una simple inspección, pero, dado que su extensión es infinita, te sería difícil decirme que tiene algo que tú o yo llamaríamos posición.