¿Para qué sirve el teorema de la función implícita?

Question

¿Cuáles son algunas de las aplicaciones del Teorema de la Función Implícita en el cálculo? Las únicas aplicaciones que puedo pensar son:

1. el resultado de que el espacio de solución de un no-degenerado sistema de ecuaciones, naturalmente, tiene la estructura de un buen colector;

2. el Teorema de la Función Inversa.

Estoy buscando las aplicaciones que podrían ser interesantes para una avanzada de los estados unidos de matemáticas de estudiantes de pregrado o el 1 er año de estudiante de posgrado que está viendo el Teorema de la Función Implícita para la primera o segunda vez. El contexto es el que voy a explicar este resultado como parte de una revisión de colector de la teoría.

Answer 1

Una de las principales aplicaciones del Teorema de la Función Implícita es la lección que enseña:

                      Locally, Manifold Theory = Linear Algebra. 

Es decir, a nivel local, podemos realizar nuestro cálculo como si se trata de álgebra lineal. Solución de ecuaciones simultáneas, discutiendo acerca de la independencia lineal de las coordenadas, conjunto de base y de la asignación de un colector para otro puede ser visto como transformaciones lineales. Discutir la invertability de funciones como si son transformaciones lineales. De hecho, por el teorema de Darboux, en Simpléctica colector de la teoría del álgebra lineal aspectos es más prominente.

Answer 2

El infinito-dimensional teorema de la función implícita se utiliza, entre otras cosas, para demostrar la existencia de soluciones no lineal de ecuaciones diferenciales parciales y parametrizar el espacio de soluciones. Para las ecuaciones de tipo estándar (elípticas, parabólicas, hiperbólicas), la versión estándar en espacios de Banach suele ser suficiente, pero hay que ser inteligentes acerca de cual de Banach espacio a utilizar. No es una generalización del teorema de la función implícita, debido a Nash, que la utilizan para demostrar la existencia de isométricos incrustaciones de Riemann colectores en el espacio Euclidiano, que trabaja para aún más los tipos generales de del PDE. Moser afirmó y demostró una versión más simple del teorema. Hay un hermoso artículo de Richard Hamilton (que originalmente utilizado el Nash-Moser teorema de la función implícita para demostrar que el local en el tiempo de existencia de soluciones para el flujo de Ricci) en el Nash-Moser teorema de la función implícita.

Answer 3

Si usted va un poco más allá de la inversa y de la función implícita teoremas, usted puede obtener una forma bastante práctica teorema. El teorema de Kantorovich le da bastante fuertes condiciones suficientes para que un sistema de suave ecuaciones tiene una solución. Además, se indica cómo rápidamente el método de Newton converge en esa situación. Por ejemplo, este teorema es utilizado por Harriet Moser para demostrar que SnapPea da aproximaciones a las soluciones reales a la hiperbólica encolado de ecuaciones. Las aplicaciones de curso son bastante amplios, este es uno de los bastante puro extremo del espectro. Kantorovich fue un economista, aunque no entiendo la economía de los problemas que él estaba interesado.

Si usted está interesado, esta perspectiva sobre la inversa y de la función implícita teoremas está en "gloria" en Hubbard multi-variable de cálculo de texto.

2ª respuesta: La prueba de Adrs del teorema es una danza delicada con el Teorema de la Función Implícita, del Teorema de Taylor y algunas argumento básico con medida de Lebesgue cero.

Answer 4

Una elemental aplicación a las ecuaciones diferenciales ordinarias: una ecuación diferencial $$u'(t)=f(t, u(t ))$$ con un continuo de RHS de la forma

$$f(t,x):=-\frac{\partial_t g(t,x)}{\partial_x g(t,x)},$$ para algunos $C^1$ función de $g$ con no desapareciendo $\partial_x g,$ tiene una familia de un parámetro de soluciones cuyas gráficas son los conjuntos de nivel de $g$. Esta es una gran parte se utiliza el método de solución, pero el IFT, que asegura que estas soluciones son de hecho, bien definidas de funciones definidas implícitamente por $g(t,u(t))=c.$ dicho sea de paso, tenga en cuenta que este es un caso en que se mantiene la unicidad para el problema de Cauchy, incluso si el Lipschitz supuestos pueden no para mantener.

Answer 5

Creo que el teorema de la función implícita como un resultado básico que subyace en muchos de los resultados de la transversalidad y de la teoría de Morse. Estas dos ideas son las principales herramientas en el estudio de los colectores. No se puede entender colectores sin ellos.

Así que si nos fijamos en la imagen inversa de un no-degenerada valor crítico en un colector tendrá un número finito de puntos singulares. Fuera de un barrio de estos, la pre-imagen aparece como un submanifold. Local de coordenadas se obtienen a través del teorema de la función implícita. Buscar en cualquier libro sobre el colector de teoría y verá que se ha utilizado.