¿Qué parte del grupo fundamental es capturado por el segundo grupo de homología?

Question

Deje $X$ ser conectado a un CW complejo. Uno puede preguntarse en qué medida $H_\ast(X)$ determina la $\pi_1(X)$. Por ejemplo, se determina su abelianization, porque el Hurewicz Teorema implica que $H_1(X)$ es isomorfo a la abelianization de $\pi_1(X)$.
Estoy pensando acerca de las invariantes de 2 nudos que se puede extraer de tener que ver con la segunda homología de (cubre de) sus complementos, y por todo esto, estoy muy interesada en la respuesta a la siguiente pregunta:

¿Qué parte de el grupo fundamental es detectado por $H_2(X)$?

En particular, hay una evidente mapa de $H_2(X)$ (o parte de él) en $\pi_1(X)$?
Donde en la derivada de la serie de $\pi_1(X)$, sería la imagen de $H_2(X)$ vivo?

Answer 1

$H_2(X)$ es todo acerca de la $\pi_1(X)$ e $\pi_2(X)$. Si $\pi_2(X)$ es trivial (como por nudo complementa), es un functor de $\pi_1(X)$.

Deje $H_n(G)$ ser $H_n(BG)$, la homología de la clasificación del espacio ($K(G,1)$). Si $X$ es el camino-conectados que hay un surjection $H_2(X)\to H_2(\pi_1(X))$ cuyo núcleo es un cociente de $\pi_2(X)$, el cokernel de un mapa de $H_3(\pi_1(X))$ a que el mayor cociente de $\pi_2(X)$ en el que la canónica de acción de $\pi_1(X)$ se convierte en trivial.

Esta $H_2(G)$ no es nada como la siguiente pieza de la derivada de la serie después de $H_1(G)=G^{ab}$, sin embargo. Por ejemplo, si $G$ es abelian, a continuación, $H_2(G)$ es la segunda potencia exterior de $H_1(G)$ (EDIT: por lo que puede ser trivial, incluso a pesar de que no conoce más que $H_1(G)$ lo hace), mientras que si $H_1(G)$ es trivial $H_2(G)$ es a menudo trivial (EDIT: por lo tanto, incluso cuando se lleva algo más de información de $H_1(G)$, no es necesariamente derivado de la serie de información).

El lugar para buscar el resto de los derivados de la serie sería de homología con el trivial de los coeficientes, por ejemplo homología de cubrir los espacios.

Answer 2

Una ligera expansión en mi comentario, una especie de cortesía a Tom de su respuesta.

En total generatlity $H_2X$ dice nada acerca del $\pi_1 X$.

Si $X = A \times B$ con $A$ a $K(\pi,1)$ e $B$ a $K(\pi,2)$, siempre $H_2(A)=0$, usted tiene que $H_2 X = H_2 B$.

Ya que hay un montón de $K(\pi,1)$ espacios con $H_2$ trivial, esto permite construir muchos espacios con idéntico fundamental grupos, $H_2$ es muy dispar.

Usted desea restringir a bastante particular los espacios para evitar que esto de la independencia.

edit: Si estás feliz de tomar cubriendo espacios, a continuación, $H_2$ (de un arbitrario de la cubierta de $X$) comienza a ver un poco más de $\pi_1 X$. Si $\widetilde{X} \to X$ es la cobertura universal, a continuación, $H_2 \widetilde{X} \simeq \pi_2 X$ por el teorema de Hurewicz. Así que ahora Tom comentarios de aplicar, dando una relación concreta entre $H_2 X$, $\pi_1 X$ y $\pi_2 X = H_2 \widetilde{X}$.

Answer 3

Si$X$ es un$K(G,1)$, entonces la homología es la del grupo fundamental, y tendría la fórmula de Hopf.

Si$G = F/R$ donde$F$ es un grupo libre, entonces la fórmula dice que$H_2(G,\mathbb{Z}) \cong (R \cap [F,F])/[F,R]$.

Answer 4

Para un grupo$G$,$H_2(G,\mathbb{Z})$ también se denomina multiplicador Schur de$G$. Entre otras cosas, si$G$ es perfecto (es decir,$H_1=0$), entonces es un término en la extensión central universal$\widehat{G}$ para$G$. Es decir, tienes una secuencia corta y exacta

$1\to H_2(G,\mathbb{Z})\to\widehat{G}\to G\to 1$.

(El artículo de wikipedia se centra en el caso de$G$ finito, pero esto funciona en general).

Answer 5

Hay otra descripción de $H_2(G)$ debido a Miller:

Miller, Clair El segundo grupo de homología de un grupo; las relaciones entre los conmutadores. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 3, (1952). 588--595.

En terminología moderna, deje $x,y\in G$ y denotan ${}^xy=xyx^{-1}$. Deje $G\wedge G$ ser el grupo generado por los símbolos $x\wedge y$, $x,y\in G$, sujeto a las siguientes relaciones:

$$ xy\wedge z = ({}^xy\wedge {}^xz)(x\wedge z),\quad x \wedge yz = (x\wedge y)({}^yx\wedge {}^yz),\quad x\wedge x = 1, $$ para todos los $x,y,z\in G$. El grupo $G\wedge G$ es también conocida como la nonabelian exterior de la plaza de $G$. Hay un conmutador homomorphism $\kappa :G\wedge G\to [G,G]$ dado por $x\wedge y\mapsto [x,y]$. Miller esencialmente demostrado que $\ker \kappa$ es naturalmente isomorfo a $H_2(G)$.

Esto está estrechamente relacionado con las respuestas de Henry Wilton y Richard Kent. Es decir, $G\wedge G$ es isomorfo a la deriva de los subgrupos de una cubierta de grupo $\hat{G}$ de % de$G$, y no es difícil encontrar un isomorfismo entre el $\ker\kappa$ e $(R\cap [F,F])/[F,R]$.