Definición abstracta de conjunto convexo

Question

Me gustaría formular una definición abstracta de los conjuntos convexos: un conjunto $K$ es convexo si está dotado de una operación ternaria $K\times[0,1]\times K\to K$ , escrito $(x:t:y)$ que satisface los axiomas

• $(x:0:y)=(x:t:x)=x$
• $(x:t:y)=(y:1-t:x)$
• $(x:t:(y:\frac ut:z))=((x:\frac{t-u}{1-u}:y):u:z)$

Los axiomas implican que, para cada $x_1,\dots,x_n\in K$ y $t_i\ge0$ con $\sum t_i=1$ la combinación convexa $\sum t_i x_i\in K$ está bien definida.

Los ejemplos son los subconjuntos convexos habituales de los espacios vectoriales reales, con $(x:t:y)=(1-t)x+ty$ pero también árboles con $(x:t:y)$ el punto único en la relación $t$ en la geodésica de $x$ a $y$ y en general $\mathbb R$ -(espacios geodésicos métricos en los que todos los triángulos son isométricos a los trípodes).

Estoy seguro de que esto ya se ha explorado, y prefiero no reinventar la rueda (y posiblemente se me haya escapado algún axioma útil), pero no he podido encontrar ninguna referencia a tales nociones.

Las preguntas naturales que me vienen a la mente son:

• definen un mapa afín entre conjuntos convexos $K,L$ como un mapa $f\colon K\to L$ con $f(x:t:y)=(f(x):t:f(y))$ . Topologizar entonces los conjuntos convexos haciendo todos los mapas afines a $\mathbb R$ continua. ¿Qué se puede decir de estos espacios topológicos?
• ¿Puede representarse todo conjunto convexo en un espacio vectorial? Tengo en mente el mapa $K\to\ell^1(K)/\{\delta_{(x:t:y)}=(1-t)\delta_x+t\delta_y\forall x,t,y\}$ aunque las topologías probablemente no coincidan (y no estoy seguro de querer cerrar el espacio que cotiza $\ell^1$ por).

¡Gracias a todos! Cualquier tipo de referencias o comentarios son bienvenidos.

Answer 1

Se ha trabajado mucho en esta línea, y creo que la idea ha sido redescubierta varias veces. Sugiero que se consulten los trabajos de Anna Romanowska que se refiere a ellas como "álgebras baricéntricas", para hacerse una idea de lo que se sabe. Su libro con Smith, "Modes", cubre esto así como las generalizaciones en las que $t$ no es necesario que esté en $[0,1]$ . Aquí son algunas diapositivas que cubren lo básico.

Se sabe que no todos son representables como espacios vectoriales. Por ejemplo, si se hace papilla todo lo que hay en el interior de $[0,1]$ a un solo punto, sus operaciones siguen estando bien definidas, pero no se puede incrustar en un espacio vectorial. El libro de Modos tiene un teorema de estructura.

Answer 2

Una buena referencia (pero probablemente no actualizada) sobre varias abstracciones de la noción de convexidad es

Singer, Ivan. Análisis convexo abstracto . Vol. 20. John Wiley & Sons, 1997.

Allí encontrarás nociones como "convexidad de orden" en posets, "convexidad métrica" para espacios métricos, combinaciones convexas abstractas, pero también nociones basadas en la aproximación desde el exterior o basadas en la abstracción de la operación "casco convexo". No estoy seguro de si hay algo en la línea de tus ideas, pero es una buena lectura de todos modos.