¿Qué significa geométricamente que un elemento en un dominio es irreducible?

Question

Considere la posibilidad de un dominio $A$ y un elemento no nulo $f\in A$. Que el elemento $f$ es primo si y sólo si el subscheme $V(f)\subset \operatorname{Spec}(A)$ es integral y esto es totalmente satisfactoria interpretación geométrica de la primeness.
Sin embargo me he dado cuenta de que mi molestia que yo no puede interpretar geométricamente lo que significa que $f$ es irreductible (es decir, no un producto de dos unidades), un concepto que en un principio los estudiantes de pregrado, ciertamente, se encuentra clara y fácil! Aquí es por qué algunos ingenuos conjeturas resultan ser falsas :

$f$ irreductible $\nRightarrow V(f)$ irreductible
Tome $f=x$ en el ring $\mathbb R[X,Y]/\langle X^2+Y^2-1\rangle =\mathbb R[x,y]$ $V(f)$ irreductible $\nRightarrow f$ irreductible
No puede ser correcta, porque de $V(f)=V(f^2)$ como topológica de los subespacios de $\operatorname{Spec}(A)$
El ideal de $(f)$ es irreductible $\nRightarrow f$ es irreductible
(Un ideal es irreducible si no es la intersección de dos estrictamente grandes ideales) En el polinomio anillo de $k[X]$ sobre el campo de $k$ , tome $f=X^2 \in k[X])$
$f$ es irreductible $\nRightarrow $ el ideal $(f)$ es irreductible
En $\mathbb Z[\sqrt {-5}]$ aviso que $3$ es irreductible, sino $(3)=(3,1+\sqrt {-5})\cap(3,1-\sqrt {-5})$

Así que permítanme explicar dos ( estrechamente relacionadas) preguntas:

¿Cuál es el sentido geométrico de $f$ siendo irreductible ?
¿Cómo se puede mostrar en/con la Geometría Algebraica que un elemento es irreducible ?
Aquí me refiero, por ejemplo, algunos analógica de los trucos utilizados en la Teoría Algebraica de números, como diciendo que en $\mathbb Z[\sqrt {-5}]$, el número de $3$ es irreductible, aunque no es primo, porque no hay ningún elemento de que el anillo de la norma $3$. Me resulta frustrante que no puedo encontrar un elegante argumento demostrando que $x$ es irreductible en el ring $\mathbb R[X,Y]/\langle X^2+Y^2-1\rangle =\mathbb R[x,y]$ mencionó anteriormente...

Editar En relación con los comentarios de abajo, permítanme añadir que en el primer no-implicación sobre el hecho de que $x\in \mathbb R[x,y] =\mathbb R[X,Y]/\langle X^2+Y^2-1\rangle $ es irreductible depende de manera crucial en el campo de tierra se $\mathbb R$: el correspondiente irreductibilidad afirmación es falsa sobre $\mathbb C$.
De hecho, en $ \mathbb C[x,y] =\mathbb C[X,Y]/\langle X^2+Y^2-1\rangle$ hemos $$ x=1/2(x-iy+i)(-ix+y+1)$$

Answer 1

Queridos Georges,

esta es una pregunta muy interesante. Yo no puedo responder a eso, pero tengo algunas ideas que vale la pena compartir.

1

Creo que si quieres un geométrica significado sería razonable restringir la pregunta a finitely generan álgebras de más de un algebraicamente cerrado de campo. Después de todo, el significado usual de geométrica es que se mantiene sobre el algebraicas de cierre. Así, tal vez se podría decir que si $A$ es $k$-álgebra, a continuación, $f\in A$ es geométricamente irreducible si $f$ permanece irreductible en $\overline A=A\otimes_k \overline k$.

Yo siento que su línea de intersección entre el círculo de ejemplo es un poco engañoso. En ese ejemplo, $x$ sólo es irreducible porque no podemos ver su descomposición más de $\mathbb R$. Si usted se considera un singular curva definida sobre $\mathbb R$, cuyos puntos singulares no son (de forma individual) visible a través de $\mathbb R$, uno puede llamar a que la curva no singular (sobre$\mathbb R$), pero definitivamente no es suave.

Sin embargo, aunque al principio pensé que esto iba a ayudar a progresar en la pregunta, no he sido capaz de hacer mucho de esto más fuertes condición.

2

También sería razonable asumir que $A$ es integralmente cerrado, así que hablando acerca de divisores es seguro.

3

Basado en Francois y de Karl comentarios, uno podría tratar de buscar localmente irreductible elementos, esto es, $f\in A$ tal que $f$ permanece irreductible después de la localización en cualquier ideal maximal. Su condición no dar algo geométricas, pero curiosamente, local irreductibilidad parece ser un muy buen estado. Por obvias irreductible, pero no elementos principales tales como $x$ en un álgebra de donde $xy=zt$ pero nada más no evidente sostiene, localizar en un primer que contiene $x,z,t$ pero no $y$ exposiciones $x$ como un producto, por lo que no es localmente irreductible.

4

Otra idea es buscar divisores de Cartier contenida en el divisor definido por $f$. Dar un ejemplo donde esta hipótesis global falla de un elemento irreductible. En caso de que alguien (como yo al principio) piensa que esta descripción podría funcionar para geométricamente irreductible elementos, aquí es un ejemplo de que:

Deje $A$ ser un habitual de anillo (es decir, cuyas localizaciones son habituales de los locales de los anillos, por ejemplo, el anillo de coordenadas de un suave afín variedad) que es no un UFD.

(Aquí es una forma de construir un anillo: Tomar una arbitraria suave variedad proyectiva $X$ y deje $Z\subset X$ ser un hyperplane sección. Suponga que $Z$ no generar el grupo de Picard de $X$. Esto puede lograrse si, por ejemplo, $\mathrm{Pic}X$ tiene rango $\geq 2$ o tomando una potencia de un generador. A continuación, $X\setminus Z$ será un suave afín variedad con un no-trivial Picard grupo, de modo que sus coordenadas anillo no puede ser una unidad flash usb.)

Ahora vamos a $\mathfrak p\subset A$ ser una altura $1$ primer ideal que no es principal. Esta existe por la elección de $A$. Por último vamos a $f\in \mathfrak p$ ser un no-cero irreductible elemento. A continuación, $V(f)\supseteq V(\mathfrak p)$ donde el último es un divisor de Cartier. Por opción $f$ no es un primer elemento, por lo que no es un producto, es decir $gh$ que se divide pero no divide a cualquiera de las $g$ o $h$. Ahora si $V(g)$ e $V(h)$ no comparten un componente irreducible, entonces se sigue que $V(f)$ no es irreducible (como en el caso de $f=x$ al $xy=zt$) lo que implica que $V(\mathfrak p)\subsetneq V(f)$, lo $V(f)$ estrictamente contiene un divisor de Cartier aunque es irreducible. (Me doy cuenta de que no he dado un ejemplo completo de este comportamiento, pero creo que es plausible que esto puede suceder).

5

Conclusión (?)

Bien, como dije al principio, realmente no puedo responder a su pregunta, pero tal vez la respuesta es que no hay una buena interpretación geométrica. Hay otras razones por las que uno puede utilizar para argumentar que la geometría corresponde más a los ideales de los elementos.

Uno también puede tomar la forma local irreductible elementos como la irreductible elementos correspondientes a un sentido geométrico. Me gusta esa solución como muchas cosas en la geometría son locales. Si uno quería hablar de una clase más amplia de elementos, uno podría decir que para un $f\in A$, el locus de la irreductibilidad es el subconjunto de $\mathrm{Spec A}$ tal que para cualquier punto en este locus $f$ es irreductible en el anillo local en ese momento. Este debe ser un conjunto abierto y, a continuación, en cualquier punto del local irreductibilidad podría ser revisada por el Francois-Karl criterio.

Observación: en El ejemplo en el punto anterior, es probable que no sea irreducible en algún lugar a lo largo de $V(f)\setminus V(\mathfrak p)$ (no necesariamente en el conjunto total como $f$ estaría contenida en otra altura $1$ primos y parece posible que $V(f)$ es en realidad la unión de los divisores de Cartier).

Answer 2

Queridos Georges,

No tengo una respuesta para esta pregunta interesante, pero aquí están algunas de las observaciones (que plantean más preguntas que respuestas...).

1) Si $A$ es un disco flash usb, a continuación, $f$ es irreductible iff $(f)$ es un valor distinto de cero el primer ideal. Así que en este caso tenemos una caracterización geométrica. Por desgracia, esta equivalencia ya no para los dominios de Dedekind. Cabe en primer lugar investigar el caso de $A=k[C]$ donde $C$ es un nonsingular afín curva a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$ : hay una caracterización de la irreductibilidad de $f$ en términos de $\operatorname{div}(f)$ ?

2) Como ya he mencionado en mi comentario, para cualquier dominio $A$, un elemento distinto de cero $f \in A$ es irreducible si el ideal $(f)$ es máxima entre los principales ideales de la $A$. Esto es equivalente a decir que la hipersuperficie $V(f) \subset \operatorname{Spec}(A)$ es el mínimo entre el hypersurfaces de $\operatorname{Spec}(A)$ (dotado con su esquema de la estructura). Sin embargo, me parece que esta caracterización un poco artificial, y realmente no sé qué hacer con él.

3) Como se menciona en la pregunta, el espacio topológico $V(f) \subset \operatorname{Spec}(A)$ no es suficiente para determinar si $f$ es irreductible (debido a $V(f)=V(f^2)$). Uno puede ver más lejos que el esquema de la estructura de $V(f)$ no es suficiente para decidir la irreductibilidad de $f$. Un ejemplo (ya dado) es $A=\mathbf{R}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$, $f=\overline{X}$ y $A'=\mathbf{R}[Y]$, $f'=Y^2-1$. Tenemos $A/(f) \cong A'/(f')$ pero $f$ es irreducible en $A$ mientras $f'$ es reducible en $A'$.

Así que parece que uno necesita más información sobre cómo $V(f)$ está incrustado en $\operatorname{Spec}(A)$ en orden a decidir la irreductibilidad de $f$. De nuevo dando el mapa continuo $V(f) \to \operatorname{Spec}(A)$ no es suficiente (creo que de $V(f^2)$). Por supuesto, la incorporación de esquemas de $V(f) \to \operatorname{Spec}(A)$ permite recuperar $(f)$ y por lo tanto la naturaleza de la $f$, pero nos gustaría utilizar menos información. En este sentido creo que Sándor la idea de mirar lo que sucede a nivel local es una muy buena idea.

Answer 3

En el diccionario en mi cabeza, creo que de los elementos o $R$ como funciones en $\mathop{\mathrm{Spec}} R$, es decir, como análogo a campos escalares en los colectores. En mi mente, con lo que disminuye la expectativa de que sus propiedades se deben directamente interpretables en términos de subschemes de $\mathop{\mathrm{Spec}} R$.

Dicho esto, todavía hay correlación entre la reducilibty de un elemento de $R$ y la reducibilidad de su ajuste a cero; el juego se convierte en la catalogación de las diferencias.

Uno de ellos es que deberíamos estar buscando en el subscheme, no el subespacio. Por ejemplo, en el plano con coordenadas anillo de $k[x,y]$, el origen $V(x,y)$ y el esquema de $V(y, y-x^2)$ son diferentes; el último es el "doble punto de" más de $k$. La geometría recuerda la diferencia entre la enseñanza primaria y el primer ideales, aunque la topología se olvida.

Dicho esto, el verdadero ingrediente que falta es el grupo de Picard-su reducibilidad criterio no es simplemente la división de $\mathop{\mathrm{Div}}(f)$ en una suma de cero eficaz divisores, pero los divisores también debe desaparecer en el grupo de Picard.

De todos modos, su análogo de la teoría algebraica de números para que el círculo es considerar la norma de $\mathbb{R}(x,y)$ a $\mathbb{R}(x)$. Si $(x,1-y)$ fue director con generador de $f(x) + g(x) y$, luego de algunos distinto de cero $a \in \mathbb{R}$: $$ a x = N(f(x) + g(x) y) = \frac{ (x^2 - 1) g(x)^2 + f(x)^2 }{g(x)^2} $$ A partir de la cual se sostienen $g(x) = 1$, e $f(x)$ debe ser lineal con coeficiente inicial $\mathbb{i}$, una imposibilidad.

Aparte: me siento como debería haber algún tipo de Galois descenso argumento para comparar el $\mathbb{C}[x,y]$ con $\mathbb{R}[x,y]$, pero más allá de mi experiencia para ver cómo se debe ir.