Contraejemplos en el análisis complejo

Question

En contraste con otros temas de análisis, tales como el análisis funcional, con su enorme cantidad de contraejemplos para intuitivamente correcto declaraciones con proyecciones de futuro (ver aquí para ver un ejemplo), todo lo que en el análisis complejo me parece muy bien que se portaba (por ejemplo holomorphic funciones son siempre analítica). Pero es esta máxima siempre tiene la razón? ¿Conoces algún holomorphic funciones que se comportan de una manera que uno no esperaría a primera vista?

EDIT: Como se puede ver en las respuestas, se me ocurrió algo a mí mismo. Pero yo estaría encantado si usted sabía más ejemplos en los que extrañas cosas suceden.

Answer 1

Voronin la Universalidad del Teorema acerca de la de Riemann Zeta Función que realmente me sorprendió la primera vez que oí hablar de él.

Este teorema esencialmente dice que la Función Zeta, en cierto sentido, codifica todos los posibles comportamientos de holomorphic funciones y también todos los posibles comportamientos de las curvas.

Answer 2

Ahora recuerdo esta función que me llamó la atención particularmente raro.

Considere la posibilidad de $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty z^{n!}.$$

Este poder de la serie converge para $|z|<1$, pero para cada $z=e^{i2\pi q}$ $q \in \Bbb Q$ vemos que hay un $k$ $z^n=1$ por cada $k \ge n$, por lo que el $$\lim\limits_{r \rightarrow 1}f(re^{i2\pi q})=\lim\limits_{r \rightarrow 1}(const+\sum_{k=0}^\infty r^{n!})=+\infty$$

Por lo tanto, el conjunto de singularidades es denso en el círculo unidad y $f$ no se puede extender más allá del círculo unidad.

Esto vino a mi mente cuando vi el primer zeta función, que puede extenderse más allá de $Re(z)=0$ porque tiene la pole en cada una de las $\rho/n$ donde $\rho$ es un trivial Zeta función cero y $n$ es un entero positivo.

Answer 3

Yo solía pensar que las funciones que en el análisis complejo, en general, demasiado "bonito", en el sentido de que controla rígidamente a dejar mucho espacio para la contra-intuitivo situaciones, hasta que empecé a leer Pommerenke del libro en el Límite Comportamiento de la Conformación de los Mapas. Como afirma en el prólogo:

"A continuación, el mapa de conformación tiene muchas propiedades inesperadas, por ejemplo, casi todo el límite se transforma en casi nada, y viceversa."

Ciertamente, él está hablando acerca de situaciones en las que el dominio no está necesariamente limitada por una curva suave a trozos, y considera meromorphic y no sólo holomorphic funciones, pero en la medida en que el límite de actuación de los "niza" funciones pueden ser maleducado vino como un poco de un shock para mí en ese momento.

Answer 4

De otro de matemáticas.SE pregunta, en función de la $f(z) = \sum a_n z^n$ que es convergente en el interior de la unidad de disco y se extiende continuamente a todo el disco está cerrado, pero no converge en todos los puntos en la frontera.