¿Se puede "escuchar" la forma de un polígono a través de reflejos externos?

Question

Esta pregunta es un áspero analógico de Kac del "se Puede Escuchar la Forma de un Tambor?" Más de cerca analógica es la reciente "Rebote Teorema" que dice, más o menos, la forma de un polígono está determinado por su billar-bounce espectro.¹

Supongamos que hay un polígono $P$ oculto en el interior de un disco de $D$. Todas sus aristas son los espejos. Disparar en un rayo de luz, y son capaces de observar la trayectoria de los rayos del aparición de $D$. Si el rayo alcanza a un vértice, se muere; de lo contrario, se refleja a través de bordes perpendiculares.

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          ^{A la izquierda: Polígono $P$ ocultos por el disco de $D$. Derecha: El rayo se refleja en $P$'s de los bordes.}

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Q1. Hay dos incongruentes polígonos $P_1$ e $P_2$ que no puede ser distinguido desde el rebote del comportamiento externo de los rayos?

Aquí quiero ignorar rígidos movimientos de los polígonos. Por "rebote"comportamiento de Me refiero a la comparación de la geometría de la los entrantes y salientes de las trayectorias de los rayos; lo que sucede en el interior del disco no se conoce a usted. Imaginar todos los posibles entrantes rayos. Pueden dos incongruentes de los polígonos que tienen el mismo rebote comportamiento para cada posible de rayos, es decir, ser equireflective?

Uno puede pensar en varias variantes. Tal vez un poco más de información podría ayudar a probar un resultado negativo:

Q2. Supongamos que usted no sólo observar el en - y fuera de las trayectorias, pero también el tiempo que tarda el rayo que emerge, de manera efectiva, dando lugar a la longitud de de la trayectoria del rayo.

Tal vez es más fácil la construcción de equireflective formas si se podría hacer uso de las secciones de las parábolas y elipses y sus especiales propiedades de reflexión:

Q3. Hay dos incongruentes trozos suaves curvas de Jordan $C_1$ e $C_2$ que no puede ser distinguido desde el rebote del comportamiento externo de los rayos?

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¹

Luna Duchin, Viveka Erlandsson, Christopher J. Leininger, Chandrika Sadanand. "Usted puede oír la forma de una mesa de billar: dinámica Simbólica y la rigidez de superficies planas." 2018. arXiv abs.

Answer 1

Para la pregunta 3, la respuesta es sí: tome un disco sólido, y la excavación de la mitad de la de Penrose unilluminable habitación de ella. Entonces, no hay límite de arcos que no puede ser tocado, y puede perturbar ellos sin alterar el rebote comportamiento.

Es posible hacer esta simple y cerrada curva de $C^{\infty}$ si usted cuidadosamente suavizar las esquinas.

Edit: se incluye un esbozo.

Answer 2

mi respuesta para T1:

"Si el rayo alcanza a un vértice, se muere". Aprovecho esta propiedad como el punto de partida de mi solución

Vamos a dos vecinos de discos D1 y D2 contienen dos incongruentes equireflective polígonos. Tomemos un vértice V1 de polígono P1; todos los rayos golpeando V1 morirá; el mismo comportamiento para el punto correspondiente V1' en disco D2, no importa si V1' es un vértice de P2 o no. Todos los rayos golpeando V1' die, lo que significa que en algún momento llegaron al vértice de la P2, vértice que no necesariamente tiene que ser en V1' posición. Pero se tiene que estar en algún lugar en el rayo de la línea de apoyo, tal vez antes o después de V1'; Así, esta línea contiene para asegurarse un determinado vértice de la P2.

Esta propiedad tiene una arbitraria ray golpear V1'. Podemos tener infinidad de rayos golpeando V1", cada uno contiene un vértice de P2. Pero P2 tiene un número finito de vértices. Así que tenemos una infinidad de líneas convergentes en V1' , cada uno con un punto de a partir de un conjunto finito de puntos. Esto conduce a la V1' a sí mismo siendo un vértice de la P2.

Repetir el mismo procedimiento para cada vértice de P1, obtenemos que el punto correspondiente en el D2 también es un vértice de la P2. Así que el conjunto de P1 's vértices se incluye en el conjunto de P2 's de vértices. Ahora partimos de disco D2 con el mismo procedimiento, para lograr que el conjunto de P2 's vértices se incluye en el conjunto de P1 's de vértices. Los dos conjuntos son iguales. Los dos polígonos tienen sus vértices en el exacto mismo (geométrica) ubicación en sus discos - de modo que son congruentes.