¿Prueba elegante de que cualquier 3-manifold cerrado y orientado es el límite de algún 4-manifold orientado?

Question

Estoy buscando una prueba elegante de que cualquier cerrado, orientado$3$ - múltiple$M$ es el límite de algún orientado$4$ - múltiple$B$.

Answer 1

Sé de varios argumentos diferentes. Usted puede decidir cuál de ellos crees que es lo más elegante...

1. Rohlin del argumento, que es realmente muy geométrica. Usted comienza con una inmersión de la 3-variedad en $\mathbb{R}^5$. Modificar la inmersión por un cobordism hasta que es una incrustación y, a continuación, encontrar una explícita 4-colector de delimitación de ella. Esto está muy bien explicado en "a la recherche de la topologie perdue". Creo que este es también el Otoño de Kent de la respuesta anterior.

2. Thom del argumento, con un montón de topología algebraica. Esto probablemente no es el más elegante de la ruta si usted sólo desea que esta pieza, aunque, por supuesto, Thom dice mucho más.

3. Rourke del argumento esbozado por Daniel Moskovich arriba. De hecho, cualquier prueba de que la asignación de la clase de grupo es generado por Dehn giros también da una prueba de que $\Omega_3 = 0$. Dehn y Lickorish también tiene pruebas de esto.

4. También tengo una prueba con Francesco Costantino, también directa y geométricas. Usted toma el compacto de 3 colector y mirar un mapa genérico a $\mathbb{R}^2$. La preimagen de un punto genérico es un discontinuo de la unión de los círculos, que delimita un conveniente canónica de la superficie (una unión de los discos). Tomar estos discos como inicio de la 4-colector. En codimension una de las singularidades, dos de estos círculos pueden combinar, y la preimagen de un poco transversal es un par de pantalones, que puede ser rellenado con una 3-esfera (junto con los discos ya se adjunta). En codimension 2, hay dos interesantes modelos locales, y ambos pueden ser llenados en canónicamente con una bola de 4.

La razón para preferir nuestra prueba (número 4), es que es más eficiente, en la que (por ejemplo) para una 3-variedad triangula con $n$ tetraedros, se da una 4-variedad con delimitada la geometría de la $O(n^2)$ simplices. Por comparación, la asignación de la clase del grupo de los argumentos de (3) tienden a dar una 4-variedad de complejidad al menos exponencial en $n$, y generalmente de una torre de exponenciales. (Usted puede ver esto ya en el inductivo argumento esbozado en Daniel Moskovich la respuesta.) Thom la prueba de (2) es completamente no-explícito; no sé cómo extraer cualquiera de los límites de ella. Rohlin la prueba de (1) puede, creo yo, que se muestra a dar un 4-colector con $O(n^4)$ simplices, aunque nunca he trabajado en todos los detalles.

Answer 2

Thom escribió dos notas en las actas de la "Colloque de Topologie de Estrasburgo", que fue una topología seminario organizado por Ehresmann en ese momento:

1. "Quelques propriétés des variétés-orillas", Colloque de Topologie de Estrasburgo, de 1951, no. V. La Bibliothèque Nationale et Universitaire de Estrasburgo, 1952.

2. "Sur les variétés cobordantes", Colloque de topologie et géométrie différentielle, Estrasburgo, 1952, no. 7. La Bibliothèque Nationale et Universitaire de Estrasburgo, 1953.

Estas dos notas prefiguran algunos de los resultados y algunas de las técnicas que aparecerá un poco más tarde, en su 1954 papel "Quelques propriétés globales des variétés différentiables" y cada una de estas notas contiene una prueba de que el hecho de que $\Omega_3=0$. De hecho, estos dos antes de las pruebas son diferentes a partir de la demostración de que sigue por la especialización de los resultados de su '54 de papel, y al que se alude en las respuestas anteriores.

Su '52 prueba (en el 1953 procedimientos) está cerca de Pontryagin las ideas relativas enmarcada cobordism grupos estables homotopy grupos de esferas. Thom se considera que el mapa de $\psi_k:\pi_{n+k}(S^n) \to \Omega_k$ que consiste en tomar regular preimages de suave aproximaciones de los mapas de $S^{n+k} \to S^n$. Este mapa es aditivo y su imagen se compone de la cobordism clases de los $k$-colectores que puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{n+k}$ con trivial normal en paquete. Desde cualquier cerrada orientable $3$-colector es parallelizable, el mapa de $\psi_3$ es surjective (por $n$ lo suficientemente grande) y es suficiente para demostrar que $\psi_3$ se desvanece en un generador del grupo $\pi_{n+3}(S^n)$. A la conclusión de su argumento, Thom se menciona que esta estable homotopy grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}_{24}$ (que, supongo, él sabía de Cartan o Serre) y, lo más importante, que es generado por la suspensión de la quaternionic de Hopf fibration con fibra de $S^3= \partial D^4$.

En contraste con su '52 y 54 de las pruebas, su '51 prueba (en el 1952 procedimiento) no utiliza ningún tipo de Pontryagin-Thom construcciones, sino que, como Lickorish y Fenn hará algunos años más tarde, se usa el hecho de que cualquier cerrada orientada $3$-colector puede ser presentada por una Heegaard división. Deje $H_g$ ser el handlebody de género $g$, vamos a $\hbox{MCG}(\partial H_g)$ denotar la clase de asignación de grupo de sus límites y para cualquier $f \in \hbox{MCG}(\partial H_g)$, conjunto

$$ V_f := H_g \cup_f (-H_g). $$

Thom se inicia por la observación de que, si $V_f$ e $V_{f'}$ unido, entonces también lo hace $V_{f \circ f'}$ (véase Bruno comentario a Daniel de la respuesta). La próxima, recuerda que Dehn encontrado una explícita y sistema finito de generadores $\{\tau_i\}$ para $\hbox{MCG}(\partial H_g)$ que consta de varias Dehn giros: hay 2, 5 y 2 g(g-1) de los generadores de $g=1$, $g=2$ y $g>2$ respectivamente. Así, mediante la observación anterior, es suficiente para comprobar que el $V_{\tau_i}$ es un límite para cualquier $g\geq 1$ y para cualquier $i$. Para cualquier $g>1$, se puede observar que cada uno de los Dehn giros $\tau_i$ se realiza a lo largo de una curva con la que se evita una completa (sólida) de la manija de $H_g$ lo $V_{\tau_i}$ está conectado suma de $S^1 \times S^2$ con $3$-colector de admisión de un Heegaard la división de género $g-1$. Puesto que estas conectado suma puede ser realizado en la dimensión de $4$ por el apego de un identificador de índice $1$, nos permite hacer una inducción sobre el género $g$. Para $g=1$, la $3$-colectores $V_{\tau_1}$ e $V_{\tau_2}$ se $S^3$ e $S^1 \times S^2$, que obviamente están los límites.

Parece que esta primera prueba de que $\Omega_3=0$ ha sido olvidado desde entonces: esto es probablemente debido al hecho de que el procedimiento no está ampliamente disponible y está escrito en francés. Personalmente, yo no lo sabía, antes de abrir este procedimiento en las Matemáticas de la Biblioteca de Estrasburgo hace un par de meses! Sin embargo, Haefliger menciona en su estudio del papel de Thom obras (Publ. IES 1988).

Answer 3

Tal vez una exageración, pero elegante:

Por un teorema de Hirsch, una orientada a $3$-colector $M$ incrusta en el $5$-esfera (nonorientable caso: Rohlin y la Pared, de forma independiente). Por Alexander dualidad, $M$ límites de una "Seifert $4$-colector."

(Algunas referencias:

Hirsch, Inmersiones de casi parallelizable colectores. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 12 1961 845-846.

Rohlin, La incorporación de la no-orientable de tres colectores en cinco dimensiones espacio Euclidiano. Dokl. Akad. Nauk SSSR 160 1965 549-551.

De la pared, Todas las 3-variedades de entretejer en 5-espacio. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 71 1965 564-567. )

Answer 4

MR0809959 (87f:57016) Rourke, Colin . Una nueva prueba de que $\Omega_3$ es cero. J. Londres Matemáticas. Soc. (2) 31 (1985), no. 2, 373--376.

Edit: Para resumir: Rourke de la prueba es corta y primaria. Otras pruebas que sé que implican significativo de la topología algebraica, la cual es mucho más difícil que el teorema (Thom, o Rohlin), o los largos cálculos (Lickorish).
Cualquier orientable 3-colector tiene un diagrama de Heegaard $S(\mathbf{x},\mathbf{y})$ donde $S$ es una superficie orientable con dos sistemas completos de las curvas de $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ (un sistema de curvas es completo si cada curva que contiene es simple y cerrada, sus curvas son disjuntos a pares, y su unión no separada $S$). Cerrado orientable 3-colector $M(\mathbf{x},\mathbf{y})$ se obtiene a partir de $S(\mathbf{x},\mathbf{y})$ adjuntando engrosamiento de 2 discos a lo largo de $\mathbf{x}$ a $S\times {\{0\}}$ y a lo largo de $\mathbf{y}$ a $S\times {\{1\}}$, y luego el relleno en el resultando $S^2$ límites de 3 bolas. La existencia de un diagrama de Heegaard para cualquier 3-colector es una reformulación de la escuela primaria, el hecho de que dispone de un asa de descomposición.
Rourke de la prueba es por inducción sobre el género $g$ de % de $S$ y en el mínimo de la intersección de número de $r$ de una curva en $\mathbf{x}$, con una curva en $\mathbf{y}$. Es decir, se da una simple combinatoria argumento de por qué, si $r>1$, entonces existe un tercer sistema completo de curvas de $\mathbf{z}$ a $S$ cuyo mínimo pares de vinculación con tanto $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ es de menos de $r$. La cirugía de $M(\mathbf{x},\mathbf{y})$ todo $\mathbf{z}$ le da al conectar suma de $M(\mathbf{x},\mathbf{z})$ e $M(\mathbf{z},\mathbf{y})$. Por último, si $r\leq 2$, entonces usted puede cortar un apagado el género de $S$ muy fácilmente. Y eso es todo lo que hay, por inducción.
Rourke de la prueba hace que el hecho de que cualquier cerrada orientable 3-colector de los límites a 4-colector de ver como un estúpidamente fácil combinatoria ejercicio. Es sin duda mi favorito de la prueba de este teorema, a pesar de que otras maneras de mirar el problema no son, sin su encanto.