Grothendieck dice: los puntos no son simples puntos, sino que conllevan acciones grupales de Galois

Question

Disculpas de antemano si esta pregunta es demasiado elemental para el MO. No he encontrado una explicación de estas ideas en la geometría algebraica de los libros (no sé francés).

El siguiente es un extracto de este archivo:

Thierry Coquand recientemente me preguntó

"En sus "Comentarios sobre el Desarrollo de la Teoría de Topos" usted se refiere para una alternativa más simple definición de "esquema", debido a Grothendieck. Es esta definición disponible en algún lugar??? De lo contrario, es posible para describir brevemente la idea principal de esta definición alternativa??"

Dado que varias personas han preguntado la misma pregunta a través de los años, me preparado el siguiente resumen que, espero, será de interés general:

1973 Buffalo Coloquio hablar por Alexander Grothendieck tuvo como su tema principal, que en la década de 1960 definición de esquema (que había requerido como requisito previo el equipaje de primer ideales y el espectro de espacio, poleas de los locales de los anillos, de revestimientos y patchings, etc.), debe ser abandonada COMO la Uno FUNDAMENTAL, y se sustituye por la simple idea de un buen functor de los anillos de conjuntos. Las necesarias restricciones podría ser más intuitivo y más geométricamente declaró directamente en términos de los topos de tales functors, y por supuesto, los ingredientes de la "equipaje" podría ser extraídos cuando se necesita auxiliar a las explicaciones de los ya existentes objetos, en lugar de llevando siempre como elementos básicos de la definición misma.

Por lo tanto, su definición es esencialmente conocido, y de hecho es se menciona en textos tales como Demazure-Gabriel, Waterhouse, y Eisenbud; pero no se lleva hasta el final, lo que resulta en más complicación, en lugar de menos. Yo había aprendido la functorial punto de vista de Gabriel en 1966 en el Strasbourg-Heidelberg-Oberwolfach seminario y por lo tanto yo estaba particularmente satisfecho cuando escuché Grothendieck tan enfáticamente instando a que se debe sustituir la previamente expuesto por Dieudonne " y a sí mismo.

Repitió varias veces que los puntos no son meros puntos, pero llevar a Galois grupo de acciones. Considero esto como parte de los contenidos de su opinión (me expresó en 1989) que la noción de topos estaba entre sus contribuciones más importantes. Una más general la expresión de ese contenido, creo yo, es que un generalizado "gros" topos puede ser una mejor aproximación a la intuición geométrica de una categoría de espacios topológicos, de modo que estos deben ser relegados a un auxiliar de posición en lugar de ser habitualmente considerado como "la" por defecto la noción de cohesión en el espacio. (Esto es independiente de la utilización de los localic toposes, un tipo especial de petit, que representa tan sólo un menor de edad modificación de la visión tradicional y ni siquiera cualquier modificación en los la geometría algebraica contexto debido a la coherencia). Es quizás una renuencia para aceptar este derrocamiento que explica la situación de los 30 años más tarde, cuando Grothendieck la simplificación no es todavía ampliamente considerado primaria y "basic".

Estoy tratando de digerir lentamente el último párrafo. Como un novato en la geometría algebraica siempre estoy buscando geométricas y "filosófico" de la intuición, así que tengo muchas ganas de entender por qué Grothendieck fue insistente en los puntos que tienen Galois grupo de acciones.

Por qué, geométricamente (o filosóficamente?) es esencial e importante que los puntos de Galois grupo de acciones?

Answer 1

Supongamos $k$ es un campo, no necesariamente algebraicamente cerrado. $\text{Spec } k$ no se comportan como un punto en muchos aspectos. Básicamente, su "finito cubre" (Especificaciones de finito etale $k$-álgebras) puede ser interesante, y son controlados por su absoluta Galois grupo / etale grupo fundamental. Por ejemplo, $\text{Spec } \mathbb{F}_q$, la Especificación de un campo finito, tiene el mismo finito cubriendo la teoría como $S^1$, lo que refleja (y es equivalente a) el hecho de que su absoluta Galois grupo es el profinite enteros $\widehat{\mathbb{Z}}$. (Esto sugiere que uno puede pensar de $\text{Spec } \mathbb{F}_q$ sí se comporte como un "profinite círculo.")

De manera más general, supongamos que usted desea para clasificar los objetos de algún tipo sobre $k$ (es decir, espacios vectoriales, álgebras, álgebras conmutativas, álgebras de Lie, esquemas, etc.). Una forma estándar de hacer esto es en lugar de clasificar la base de los cambios de los objetos para el cierre separable $k_s$, después de aplicar Galois descenso. La topológico de la imagen es que el $\text{Spec } k$ se comporta como $BG$ donde $G$ es la absoluta Galois grupo, $\text{Spec } k_s$ se comporta como un punto, o si se prefiere como $EG$, y el mapa

$$\text{Spec } k_s \to \text{Spec } k$$

se comporta como el mapa de $EG \to BG$. En la configuración topológica, las familias de los objetos sobre $BG$ son (cuando descenso tiene) lo mismo que los objetos equipado con una acción de $G$. El análoga hecho en la geometría algebraica es que los objetos sobre $\text{Spec } k$ son (cuando Galois descenso mantiene) la misma cosa como el uso de objetos de $\text{Spec } k_s$ equipada con homotopy punto fijo de datos, que es una generalización de ser equipado con un $G$-acción que refleja el hecho de que $k_s$ sí tiene un $G$-acción.

(Tengo que ser un poco cuidadosos acerca de lo que quiero decir por "$G$-acción" para tener en cuenta el hecho de que $G$ es un profinite grupo. Por simplicidad se puede fingir que estoy en lugar de hablar acerca de un número finito de extensión de $k \to L$, aunque voy a seguir escribiendo como si estoy hablando de la separables de cierre. Alternativamente, fingir que estoy hablando de $k = \mathbb{R}, k_s = \mathbb{C}$.)

La clasificación de finito cubre es el más simple lugar de ver esto: la categoría de finito cubre de $\text{Spec } k_s$ es la categoría de conjuntos finitos, con el trivial $G$-acción, por lo que homotopy punto fijo de datos es que los datos de una acción de $G$, y tenemos que finito cubre de $\text{Spec } k$ están clasificados por finito de conjuntos con $G$-acción.

Pero Galois descenso tiene en mucho mayor generalidad, y describe un sentido muy general en la que los objetos sobre $k$ se comportan como objetos de más de $k_s$ con un Galois acción en un retorcido sentido.

Answer 2

Los puntos de un Topos tienen transformaciones naturales entre ellos; restringiéndose a los isomorfismos naturales se obtiene un grupoide. También puede representar los puntos de un Topos acotado como paquetes principales; Es decir, algo con una acción G. No estoy seguro de a qué se hace referencia, pero puede ver este aspecto de los puntos sin tener ningún anillo alrededor.