¿Existe una prueba libre de integración (o heurística) que una vez diferenciable implica dos veces diferenciable para funciones complejas?

Question

El título lo dice todo. Estoy retomando el análisis complejo, por primera vez desde que he "aprendido" algunos estudios de licenciatura. Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de por qué debe ser el caso de que una función es diferenciable una vez debe ser diferenciable dos veces. Yo sé de una prueba (Uso de Cauchy de la integral de la fórmula y se diferencian bajo el signo integral), pero que la prueba no hacer un montón de explicar la magia.

Decir que nunca había oído hablar de números complejos antes, y alguien le dijo que usted tenía una función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dado por $f(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$, lo que localmente se ve como una rotación/expansión (es decir, se satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones en todas partes). Entonces, ¿por qué en la Tierra se debe a esta función se $C^\infty$? Me encantaría ver una foto, o simplemente una prueba de que hace esto se siente menos como un truco de magia. Yo esperaba que "Visual Análisis Complejo" podría ayudarme a salir de aquí, pero este parece ser el teorema en el libro que no está dado de una forma geométrica de la motivación.

Answer 1

Me recordó un comentario de Ahlfors, al comienzo del Capítulo 4 de su libro "Análisis Complejo" que se afirma la existencia de una prueba, y me hizo el papel de "Una prueba de la potencia de expansión de la serie sin Cauchy de la fórmula" por E. H. Connell y P. Porcelli (Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 67 (1961), 177-181), donde se dan tan sólo una prueba basada en una topológico teorema de G. T. Whyburn, "análisis Topológico", señalando que cualquier holomorphic función es una asignación abierta. No he comprobado la última fuente para ver que es independiente de la integración, pero es probable que es; yo no puedo tener en mis manos en este momento ya que está en un libro en lugar de un artículo. De hecho, la Connell–Porcelli artículo es en realidad un anuncio de los resultados y por lo omite algunos detalles. Hay un artículo solo por Connell, "En las propiedades de las funciones analíticas" (Duque de Matemáticas. J. 28 de 1961 73-81), que supuestamente da los detalles y yo no he visto hasta.

Edit: Después de la lectura de Gerald Edgar respuesta, debo comentar que estoy en la celebración de la Tercera Edición de Ahlfors.

Una nota en la prueba. Como era de esperar, la topológico de contenido es que el plano complejo tiene una base de abiertos de bolas de tal manera que incluso después de la eliminación de un número finito de puntos, que están conectados. Esto implica que una función que es continua en un conjunto abierto y abierto, lejos de un punto se vuelve a abrir (en contraste con el valor absoluto de la función en la línea real), y esto implica trivialmente el máximo módulo de principio de si usted sabe que holomorphic funciones son mapas abiertos. Desde allí se puede hacer de primaria epsilon-delta razonamiento (que se aplica a la "diferencia cociente de la función" $(f(z) - f(z_0))/(z - z_0)$) para conseguir que una función continua que es holomorphic lejos de un punto también es holomorphic en el punto. Se puede sustituir "continuo" por "limitado" por hacer esto con $(z - z_0) f(z)$.

Por desgracia, es en este punto que el documento resumen, se comienza a resumir. Sin embargo, van a demostrar (completamente) la existencia de un poder de la serie de desarrollo, que es más fuerte que la mera dos veces-la diferenciabilidad.

Answer 2

bueno, este es, probablemente, mucho más magia que la prueba usual. Sin embargo, me gusta mucho: que viene por lineal de la PDE uno se encuentra con la noción de un hypoelliptic operador diferencial (con coeficientes constantes). A continuación, en la teoría de las distribuciones que no es demasiado duro para demostrar que hypoellipticity es equivalente a tener una solución fundamental con singular apoyo que se acaba de $\{0\}$.

Para el $\overline{\partial}$ operador de esta forma, es fácil ver que $\frac{1}{z}$ es una solución fundamental. En cierto sentido, aquí sólo tiene que diferenciar de una vez ;)

Ahora, ¿por qué es tan buena. Bueno, tener un hypoelliptic diffop $D$, la solución de la ecuación homogénea $Du = 0$ en el muy, muy débil sentido de las distribuciones de rendimiento suave soluciones de inmediato. En este sentido, se obtiene junto con mucho menos differentiabily...

OK, ciertamente, no resulta sencilla la tecnología, pero agradable.

Answer 3

Cuando tomé un análisis complejo de Ahlfors en 1970 más o menos (usando su libro de texto), cuando llegamos a la sección sobre esto, hizo un comentario en clase. Durante mucho tiempo se pensó que esto no podría probarse sin integración. Hoy se conocen pruebas sin integración. Pero son mucho más difíciles que la prueba en el libro de texto con integración. No dio más explicaciones. Tal vez (?) Si hay una edición más reciente de su libro, ¿agregó el comentario allí?

Answer 4

Le pregunté a un colega que trabaja en el análisis complejo y no conozco a ningún "integración" libre de la prueba o argumento. Sin embargo, él me señaló a una versión libre de los números complejos, pero de forma equivalente, sorprendente (al menos para mí): Weyl del Lexema, que indica que cualquier función de $u\in L^1_\text{loc}$ satisfactorio $$ \int u\Delta \phi = 0 $$ para cualquier función de prueba de $\phi$ es $C^\infty$. Sin embargo, la prueba también se utiliza la integración en la forma de circunvoluciones y, por lo tanto, las integrales no son en absoluto evitarse.

Otro comentario: Muchos teoremas sobre (unsespected) uniformidad de las soluciones de la ecuación diferencial parcial utilizar algunos integral fórmula para deducir mayor suavidad. Una excepción es la de Cauchy–Kowalevski teorema , pero no veo cómo esto se relaciona con la de aquí.

Answer 5

Existe otro enfoque para el análisis complejo que se inició ya por Lagrange, pero cuyo principal de desarrollo es debido a Weierstrass. Mientras que la aplicación principal de Cauchy de la teoría es demostrar que las funciones analíticas que tienen el poder de la serie de expansiones, por Weierstrass el poder de la serie juega un papel fundamental. Es posible definir una analítica de la función como una función que admite convergente poder de expansión de la serie. Entonces uno ve que no hay convergencia uniforme en los discos y el siguiente paso es probar que tal el poder de la serie tiene todos los pedidos derivados.

No es una simple integración libre de la prueba de que un poder de la serie se puede derivar término a término dentro de su radio de convergencia, que ya da de que es infinitamente derivable y el poder de la serie de los derivados tienen el mismo radio de convergencia. Esto hace de Weierstrass enfoque posible. Funciones elementales como la exponencial y funciones trigonométricas pueden ser definidas por medio de la correspondiente potencia de la serie y, a continuación, una muestra de sus propiedades habituales. Consecuencias de Cauchy de la integral como fórmula del teorema de Liouville o de Cauchy de la desigualdad puede ser recuperado en este contexto, sin la integración por medio de la identidad de Parseval (que sólo implica la integración real). Y así sucesivamente...