¿Hay una razón de alto nivel por la que la ley cuadrada inversa de gravitación produce órbitas periódicas sin precesión?

Question

Dado un esféricamente simétrica potencial de $V: {\bf R}^d \to {\bf R}$, suave de distancia desde el origen, se puede considerar que las ecuaciones de Newton del movimiento $$ \frac{d^2}{dt^2} x = - (\nabla V)(x)$$ para una partícula $x: {\bf R} \to {\bf R}^d$ de este potencial. En virtud de la simetría esférica de la asunción, uno tiene la conservación del momento angular (según el teorema de Noether, o la segunda ley de Kepler), y el uso de este, se puede realizar un "simpléctica reducción" y reducir la dinámica autónoma de segundo orden de la ODA de la radial variable $r = |x|$ como una función de una variable angular $\theta$; véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem#Solution_of_the_Kepler_problem. En general (suponiendo un atractivo potencial y la energía no demasiado grande), las superficies de energía de esta ODA son curvas cerradas, y esto conduce a la radial variable $r$ función en un periódico de la moda de la variable angular $\theta$, a condición de que uno de los ascensores de la variable angular del círculo unidad ${\bf R}/2\pi {\bf Z}$ a la universalización de la cobertura ${\bf R}$.

En el caso especial de la ley del cuadrado inverso $V(x) = -\frac{GM}{|x|}$, resulta que el período del mapa $\theta \mapsto r$ es siempre igual a $2\pi$, lo que significa en este caso que las órbitas son curvas cerradas en ${\bf R}^d$ (mientras que para casi todos los otros potenciales, con la excepción de la cuadrática potenciales de $V(x) = c |x|^2$, las órbitas de la exhibición de la precesión). En efecto, como fue célebremente elaborado por Newton (por un método ligeramente diferente), los cálculos, finalmente, recuperar la primera ley de Kepler de que las órbitas bajo la ley del cuadrado inverso son elipses con un foco en el origen.

Los cálculos no son muy difíciles - básicamente por la aplicación de la transformación $u = 1/r$ uno puede convertir la citada ODA a un desplazado versión del oscilador armónico -, sino que parecen más bien "milagrosa" para mí. Mi (vaga) la pregunta es si hay un "alto nivel" (por ejemplo, geometría simpléctica) la explicación de este fenómeno, de la ley del cuadrado inverso dando periódico órbitas sin precesión. Por ejemplo, en el caso de los cuadrática potenciales, en el espacio de fase tiene la estructura de un tóricas variedad ${\bf C}^d$ (con la evidente acción de $U(1)^d$), y el Hamiltoniano $\frac{1}{2} |\dot x|^2 + \frac{c}{2} |x|^2$ es sólo un componente lineal del momento de mapa, por lo que la periodicidad de las órbitas en este caso puede ser visto como un caso especial de la conducta del general tóricas de variedades. Pero yo no era capaz de ver una similar geometría simpléctica explicación en el cuadrado inverso caso, como no pude encontrar una obvia simpléctica toro acción aquí (en gran parte debido a que el periodo de las órbitas varía con la órbita, como por la tercera ley de Kepler). Es la falta de precesión sólo una "coincidencia", o hay algo más? Por ejemplo, hay una transformación canónica que transforma la dinámica en un formulario normal que transparente revela la periodicidad (similar a cómo la acción-ángulo de variables revelar la dinámica de variedades tóricas)?

Answer 1

La gravitacional o de Coulomb el potencial que tiene la forma "oculta" simetría (oculto en el sentido de que no se siga de la simetría rotacional). El resultado integral de la moción (el método de Runge-Lenz vector) impide que llena el espacio de las órbitas en la mecánica clásica (todas las órbitas están cerrados), y presenta una degeneración de los niveles de energía en la mecánica cuántica (niveles de energía no dependen del número cuántico azimutal).

La simetría oculta plantea la simetría rotacional grupo de tres o cuatro dimensiones, por lo que desde ENTONCES(3) SO(4). Una interpretación geométrica en cuatro dimensiones impulso espacio de la(4) la simetría se da en la página 234 de la Mentira de los Grupos, la Física y la Geometría por Robert Gilmore. Históricamente, esta interpretación se remonta a V. Fock en Zur Theorie des Wasserstoffatoms [Z. Phys. 98, 145-154 (1935)]. El movimiento elíptico de la coordenada corresponde a un movimiento circular de un impulso. El círculo en $\mathbb{R}^3$ es promovido a un círculo en $\mathbb{R}^4$ por una transformación proyectiva. De MODO que(4) las transformaciones en $\mathbb{R}^4$ girar los círculos dentro de círculos, los cuales, a continuación, proyecto de circular el impulso de las trayectorias en el espacio físico $\mathbb{R}^3$.

Usted probablemente sabe que los planetas girar alrededor del sol en órbitas elípticas. Pero ¿sabes por qué? De hecho, se están moviendo en círculos en 4 dimensiones. Pero cuando estos círculos se proyecta al espacio 3-dimensional, que convertido en puntos suspensivos!
_{[Juan Báez, animación por Greg Egan. ]}

Answer 2

Hay:

• Bertrand teorema que dice que el isotrópica oscilador y Kepler potenciales son la única analítica de aquellos cuyas nonrectilinear delimitada órbitas cerradas. (Recomendación: Albouy - Conferencias sobre los dos cuerpos problema. Pero él dice: "La prueba de este teorema proporciona muy poco "explicación" del fenómeno.")

• La de Levi-Civita–Kustaanheimo–Stiefel transformación, las cuales se asigna el problema de Kepler en una de mayores dimensiones isotrópica oscilador sujeto a una restricción. (Recomendación: Cordani - El problema de Kepler (MSN).)

Edit: en última instancia, creo que todo el mundo tiene razón al decir que la clave para el cerrado de las órbitas para $\smash{\dfrac{d\mathbf v}{dt}=-\dfrac{k\mathbf r}{r^3}}$ (donde $r=\|\mathbf r\|$) es la conservación de $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf v$ e la ("Lenz") vector de excentricidad $$ \mathbf e = \frac{\mathbf L\times\mathbf v}k+\frac{\mathbf r}r. \tag1 $$ En efecto, inmediatamente después de que $\mathbf r$ satisface el sistema: $\langle\mathbf L,\mathbf r\rangle=0$ e $\langle\mathbf e,\mathbf r\rangle=r-L^2/k$ , que es, como Albouy tensiones, de Gauss, la forma preferida de la ecuación de una cónica en el plano de la $\perp\mathbf L$, con la excentricidad $e=\|\mathbf e\|$; por lo tanto, si acotado, cerrado (una elipse).

Una vez dijo acerca de esto, la comprobación de que $d\mathbf e/dt=0$ es elemental. Pero para tener la idea de que debe existir es un asunto muy distinto, y no me resisto a reproducir la maravillosa forma de Lagrange hizo en 1779 - como la luz por (creo) Albouy y colaboradores. (Esta es anterior a la de Laplace, Runge, Lenz, etc.)

Usted acaba de calcular dos de los derivados de $r$, la obtención de¹ (como es conocido) $$ \frac{dr}{dt}=\frac{\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle}r, \qquad\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{L^2}{r^3}-\frac k{r^2}. \tag2 $$ Ahora Lagrange "muy sutilmente conjuntos" $s=r-L^2/k$, se refiere a $r$ como una función conocida de $t$, y observa que, como resultado de $(2)$, $s$ entonces satisface la misma ecuación lineal de segundo orden $$ \frac{d^2}{dt^2}=-\frac{sk}{r^3} \tag3 $$ que $x,y,z$ también son conocidos a satisfacer. Por lo tanto, es una combinación lineal de ellos, es decir, hay una constante en el vector de $\mathbf e$ tal que $s=\langle\mathbf e,\mathbf r\rangle$ siempre. Y desde que rápidamente se² obtiene a $(1)$.

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^{1. De hecho, $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1r\dfrac d{dt}\dfrac{\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle}2=\dfrac{\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle}r$ y, a continuación, (el uso de este doble y la ecuación de movimiento de una vez) $$ \frac{d^2r}{dt^2} =\frac d{dt}\frac{\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle}r =\frac{r\dfrac d{dt}\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle-\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle\dfrac{dr}{dt}}{r^2} =\frac{r\left\{\|\mathbf v\|^2+\left\langle\mathbf r,\dfrac{d\mathbf v}{dt}\right\rangle\right\}-\dfrac{\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle^2}{r}}{r^2} =\frac{\|\mathbf r\|^2\|\mathbf v\|^2-\langle\mathbf r,\mathbf v\rangle^2}{r^3}-\frac k{r^2}. $$ 2. En efecto, por definición $ s=r-\dfrac{\langle\mathbf L,\mathbf L\rangle}k =\left\langle\dfrac{\mathbf r}r,\mathbf r\right\rangle - \dfrac{\langle\mathbf L,\mathbf r\times\mathbf v\rangle}{k} =\left\langle\dfrac{\mathbf r}r+\dfrac{\mathbf L\times\mathbf v}k,\mathbf r\right\rangle $, so $(1)$ hace el truco.}

Answer 3

Aquí es una interpretación por medio de la simetría de la reducción, pero sin usar explícitamente la Lenz-Runge vector (que es esencialmente una versión extendida de el ejemplo dado en Cushman & Bates "aspectos Globales de la clásica integración de sistemas", pág. 75).

Deje $Q = \mathbb{R}^3$ ser el espacio de configuración (haciendo caso omiso de la regularización de las cuestiones en el origen) y deje $P = T^* Q = \mathbb{R}^6$ ser el espacio de fase. Como suponemos que el potencial sólo depende del radio, el Hamiltoniano es $O(3)$ invariante. La correspondiente cantidad conservada es el momento angular $J(q, p) = q \times p$, donde se identificaron $\mathbb{R}^3$ con la Mentira de álgebra de $O(3)$. Deje $S^2_L \subseteq \mathbb{R}^3$ ser la esfera con un radio de $L$. Como se mencionó anteriormente, el Hamiltoniano es $O(3)$-invariante y por lo tanto desciende a la órbita de un espacio reducido $$J^{-1}(S^2_L) / O(3).$$ Para identificar este reducido espacio, es conveniente utilizar otro simetría. El grupo $SL(2, \mathbb{R})$ actúa en $P$ y tiene el impulso mapa $$K(q, p) = (x, y, z) = \Big(-q \cdot p, \frac{q^2}{2} - \frac{p^2}{2}, \frac{q^2}{2} + \frac{p^2}{2}\Big) \in \mathbb{R}^3.$$ Como el $O(3)$- e $SL(2, \mathbb{R})$-formulario de acción de un doble par, el coadjoint órbita de la correspondencia implica que la reducción de la fase de espacios para la $O(3)$-acción corresponde a coadjoint acciones de $SL(2, \mathbb{R})$ (en el presente caso, esto se puede ver con bastante facilidad utilizando las fórmulas para $J$ e $K$). La única coadjoint órbitas en la imagen de $K$ son de la órbita elíptica, la parabólica, uno y cero. Los dos últimos no son interesantes para nosotros (que corresponden a la desaparición de momento angular). El $SL(2, \mathbb{R})$-órbita a través del punto de $(0, 0, L)$ es el superior de la hipérbola $z^2 - y^2 - x^2 = L^2$ , y se identifica con el espacio reducido $J^{-1}(S^2_L) / O(3)$. El Hamiltoniano desciende a un Hamiltoniano en el reducido espacio de fase, el cual es dado por $$H(x, y, z) = \frac{z-y}{2} + V(\sqrt{z+y}).$$ Su pregunta es equivalente a pedir un potencial de $V$ tal que la intersección de las $H^{-1}(E)$ con el superior de la hipérbola es una curva cerrada. No tengo una respuesta definitiva a esta última pregunta, pero supongo que la única manera posible de potenciales son el oscilador Armónico y el potencial de Kepler.

Este enfoque también sugiere que todos los potenciales de tener un grupo de simetría $G$ que es un $U(1)$-extensión de la $O(3)$. La reducción anterior corresponde entonces a una reducción por etapas en el que el primer coeficiente de la $O(3)$-simetría y se queda con un $U(1)$-simetría en el reducido espacio de fase.

Answer 4

La acción-ángulo de las variables de los dos cuerpos graviational problema ('Kepler problema') son ampliamente utilizados en la mecánica celeste de la comunidad. Son los llamados " Delaunay de las variables y hacer el tóricas de la estructura del espacio de fases evidente. Véase, por ejemplo: Chang y Marsden - derivación Geométrica de las variables de Delaunay y fases geométricas (CiteSeer publicado MSN) para un tratamiento moderno. Tenga en cuenta que este documento es una transformación canónica.