¿Es posible dividir %-%-% en círculos de unidades?

Question

¿Es posible dividir %-%-% en círculos de unidades?

Answer 1

La construcción está basada en un pedido de $R^3$ en el menor ordinal de cardinalidad del continuo. Deje $\phi$ ser que ordinales y deje $R^3=\{p_\alpha:\alpha<\phi\}$ ser una enumeración de los puntos del espacio. Se define un círculo unitario $C_\alpha$ contiene $p_\alpha$ por recursión transfinita en $\alpha$, para algunas de las $\alpha$ no hacemos nada. Aquí está la recursividad paso. Supongamos que hemos alcanzado el paso $\alpha$ y algunos círculos $\{C_\beta:\beta<\alpha\}$ han sido determinados. Si algunos de ellos contiene (=cubre) $p_\alpha$, no hacemos nada. De lo contrario, elija una unidad de círculo con $p_\alpha$ que extraña a todos los anteriores círculos. Para eso, primero escogemos un avión cruzando $p_\alpha$ que es distinta de la de los aviones de la anterior círculos. Esto es posible, ya que hay continuum muchos aviones cruzando $p_\alpha$ y menos del continuum muchos planos, que son los planos de dichos círculos. Deje $K$ ser el avión elegido. La anterior círculos se intersectan $K$ en menos de continuum muchos puntos, por lo que es suficiente para encontrar, en $K$, una unidad de círculo de ir cruzando $p_\alpha$, lo que se echa de menos algunas menos de continuo en muchos puntos. Eso es fácil: hay continuum muchos círculos de unidad en $K$ que pase o $p_\alpha$ y cada uno de los puntos malos descalifica sólo 2 de ellos.

Answer 2

Aunque esta pregunta es viejo, me gustaría dar a lo que considero como una muy buena solución. Es diferente de las demás en que los círculos no son redondas, pero son desvinculados). Primero observar que los círculos $x^2 + y^2 = r^2$, $z = c$, para $r \geq 1$ e $c$ cualquier número real, se descomponen todos los de $\Bbb{R}^3$ a excepción de un cilindro abierto en círculos. A primera vista, esto parece haber logrado nada, ya que el abrir el cilindro es homeomórficos a $\Bbb{R}^3$, por lo que hemos reducido el problema original a un problema equivalente. Sin embargo, ven en la figura de la izquierda el de la imagen, que muestra un abierto del cilindro incorporado como una forma de U, con extremos que van hasta el infinito en la misma dirección. Ya que esto es sólo una deformación del original de la incrustación, se puede descomponer el complemento en círculos. Para controlar el interior, incrustar un cilindro abierto en ella, como se muestra en la parte derecha de la figura. Podemos descomponer el complemento de los más pequeños en forma de U del cilindro en círculos. Seguimos en este camino, asegurándose de que el incrustados cilindros de ir hasta el infinito, de modo que cada punto de $\Bbb{R}^3$ está incluido en algunos finito etapa.

Me parece que en realidad nunca ha resuelto el problema, pero en lugar de tener simplemente la empujó lejos, por lo mucho que se desvanece en el aire!

Answer 3

La prueba de Péter es muy inteligente y, aunque no hay necesidad real de resucitar este hilo, lo siguiente es bastante sencillo en caso de que uno no esté inclinado a buscarlo en la literatura sobre este tema:

Observe que puede cubrir una esfera de dos perforaciones con círculos. Ahora considere una familia de círculos que se encuentran en el plano %-%-%, radii 1, centrado en los puntos %-%-% para %-%-%. Cada esfera sobre el origen interseca esta familia en exactamente dos lugares.

Answer 4

En este artículo, los autores demuestran que no sólo se puede partición $R^3$ en los círculos congruentes, pero puede hacerlo en desvinculado de los círculos congruentes. También probar una variedad de otros resultados similares: $R^3$ se puede dividir en isométrica copias de cualquier familia de continuum muchas propiedades analíticas de las curvas. Y que tenga en cuenta la cuestión de las dimensiones superiores, y también el papel de la CA en las pruebas: por ejemplo, en $R^3$ sin CA es necesario para los círculos, si diferentes tamaños están permitidos.

Answer 5

Evelyn Sander dice aquí,"Los círculos geométricos del radio de la unidad se llaman aros. Usando el Axioma de Choice, J.H. Conway y H.T. Croft demostraron que, sin embargo, es posible llenar de forma discontinua tres espacios usando aros desarticulados." El "sin embargo" iba a contrastar con el llenado continuo. Este fue un informe sobre una charla de Daniel Asimov en 1994, quien demostró que no es posible llenarse continuamente de aros.