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¿Qué grupo algebraico reconstruye Tannaka-Kerin cuando se alimenta la categoría de módulos de un álgebra de Lie no algebraica?

Deje $\mathfrak g$ ser finito-dimensional Mentira álgebra sobre $\mathbb C$, y deje $\mathfrak g \text{-rep}$ sea su categoría de finito-dimensional de los módulos. A continuación, $\mathfrak g\text{-rep}$ viene equipado con un fiel exacta functor "olvidar" a la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales sobre $\mathbb C$. Por otra parte, $\mathfrak g\text{-rep}$ es monoidal simétrica con duales, y el olvido functor conserva toda esta estructura. Por Tannaka-Krein dualidad (véase, en particular, el excelente papel André Joyal y Ross de la Calle, Una introducción a Tannaka la dualidad y los grupos cuánticos, 1991), a partir de estos datos se puede reconstruir un afín algebraica de grupo $\mathcal G$ tal que $\mathfrak g \text{-rep}$ es equivalente (como monoidal simétrica de la categoría con un fiel functor exacto para espacios vectoriales) para la categoría de finito-dimensional representaciones de $\mathcal G$.

Sin embargo, no es cierto que cada finito-dimensional álgebra de la Mentira es la Mentira de álgebra de algebraica de grupo. Por lo que no es cierto que $\mathcal G$ es, decir, necesariamente, simplemente conectado conectado Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$, o algunos cociente de los mismos. Así que mi pregunta es:

Dado $\mathfrak g$, lo que es una escuela primaria descripción de $\mathcal G$ (que evita la maquinaria de Tannaka-Krein)?

Por ejemplo, quizás $\mathcal G$ es algo de Zariski cierre de algo...?

31voto

DavLink Puntos 101

En lugar de una respuesta, esto es más de un anti-respuesta: voy a tratar de convencer de que es probable que no quieras saber la respuesta a su pregunta.

En lugar de algún país exótico nonalgebraic Mentira álgebra, vamos a empezar con el uno-dimensional Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ sobre un campo $k$. Una representación de $\mathfrak{g}$ es sólo un número finito-dimensional espacio vectorial + un endomorfismo. No sé lo que el grupo afín esquema adjunto a este Tannakian categoría, pero gracias a una 1954 papel de Iwahori, puedo decir que su Mentira álgebra puede ser identificado con el conjunto de pares $(\mathfrak{g},c)$ donde $\mathfrak{g}$ es un homomorphism de abelian grupos $k\to k$ e $c$ es un elemento de $k$. Así que si $k$ es grande, esto es enorme; en particular, usted no consigue algebraica de grupo. (Añadido: $k$ es algebraicamente cerrado).

Por el contrario, el grupo afín esquema adjunto a la categoría de representaciones de un semisimple Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ en característica cero es simplemente conectado algebraica de grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$.

En resumen: este juego funciona de maravilla para semisimple álgebras de Lie (en característica cero), pero por lo demás parece ser un gran lío. Ver arXiv:0705.1348 por un par de detalles más.

20voto

Torsten Ekedahl Puntos 19351

Después de algunos pensaron que mi pesimismo (como se expresa en mi coincidencia con la respuesta de Milne) se ha calmado un poco. Si yo fuera lo suficientemente valiente como yo conjetura de la siguiente (suponiendo que la característica cero base es de campo algebraicamente cerrado): Vamos a $\mathfrak g$ ser finito dimensionales Mentira álgebra sobre $k$ y dejar $G$ ser el pro-algebraica de grupo cuya representación del tensor de la categoría equivalente para el tensor de la categoría de finito dimensionales $\mathfrak g$-modules. Then if $S$ is the (pro-)radical of $G$ and $U$ el (pro-)unipotentes radicales $U$ e $G/S$ son algebraica de los grupos (unipotentes y semi-simple respectivamente). Furthmore, el pro-torus $T:=S/U$ tiene como grupo de personajes $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ considerado como un aditivo grupo. Por lo tanto el único infinito-dimensional parte es$T$, pero su carácter de grupo, \emph{à priori} sólo un resumen de grupo, está razonablemente bien controlado. Este es análogo al caso de irreductible de dimensiones infinitas representaciones de un semi-simple Mentira grupo, donde el centro de la envolvente álgebra de actos por parte de un personaje y el conjunto de caracteres como un conjunto es muy de gran tamaño. Sin embargo es el conjunto de $k$-puntos de una variedad algebraica que significa que está bajo control. La analogía va más allá, como la categoría de $G$-representaciones (asumiendo $U$ es finito-dimensional) se divide en directo producto de categorías parametrizada por cosets de el grupo de personajes de $T$ con respecto al subgrupo generado por los personajes que ocurren en la acción de $T$ en la Mentira de álgebra de $U$.

Aquí están algunos comentarios sobre la conjetura (yo no responden por completo veracidad de mis afirmaciones).

Podemos obtener una imagen de $G/U$ observando la irreductible $\mathfrak g$-representaciones (como corresponden exactamente a la irreductible $G/U$representaciones). Todas las representaciones factor a través de $\mathfrak g/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$, que es el producto de $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ e $\mathfrak g/\mathfrak{u}$. Por lo tanto, las representaciones irreducibles son parametrizada por pares de un $1$-dimensiones de la representación de $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ y una representación irreducible de la semi-simple álgebra $\mathfrak g/\mathfrak{u}$. This gives the prediction that $G/U$ debe ser el producto de un toro con carácter de grupo $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ y el simplemente conectado semi-simple grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g/\mathfrak{u}$.

Como para $U$, la idea es que la categoría de unipotentes representaciones (es decir, las sucesivas ampliaciones de la trivial la representación) de $\mathfrak g$ es equivalente a la categoría de representaciones de la unipotentes grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g'$, el máxima unipotentes cociente de $\mathfrak g$. Algo similar debe ser cierto para las sucesivas extensión de la misma irreductible a la representación y no no debería ser demasiado "mestizaje" entre los diferentes irreducibles.

[Agregado] Yo un poco groseramente secuestrado a la pregunta mediante la adopción de las cosas que tal vez no se que pertinente a la pregunta, así que permítanme dar una respuesta que creo que es más en la pista.

El problema es que uno no siempre se puede definir la algebraisation de un resumen finito dimensionales Mentira álgebra $\mathfrak g$, incluso si algunos algebraisation existe. Como ejemplos considerar un $2$-dimensiones Mentira álgebra con base $x,y$ e $[x,y]=y$. Este es el álgebra de la Mentira de un número infinito de algebraicas grupos: Vamos a la $1$-dimensiones torus $\mathbb G_m$ ley sobre la aditivo grupo $\mathbb G_a$ por $(t,v) \mapsto t^nv$ donde $n\not=0$ y deje $G_n$ ser el semi-producto directo de esta acción. Todos estos grupos tienen $\mathfrak g$ Mentira álgebra, pero el único isomorphisms entre ellos es que el $G_n$ es isomorfo a $G_{-n}$.

Lo que sí tiene sentido es hablar de una expresión algebraica casco de una incrustación de $\mathfrak g\subseteq \mathfrak{gl}_m$, es decir, de un (fiel) $\mathfrak g$-representación. En ese caso se puede considerar la intersección de todos los algebraicas subgrupos de $\mathrm{GL}_m$ cuyo Mentira álgebra contiene $\mathfrak g$. In terms of Zariski closures (when the base field is $\mathbb C$) es la de Zariski de cierre de la exponenciales de todos los elementos de $\mathfrak g$ (dentro de $\mathfrak{gl}_m$). Desde el Tannakian punto de vista este es el grupo que corresponde al tensor de la subcategoría de la categoría de $\mathfrak g$-representaciones generadas por una determinada representación.

Sin embargo, si uno quiere algo que es independiente de un particular la representación que uno tiene que pasar a un límite inversa de grupos provenientes de las diferentes representaciones. Esto conduce a un infinito dimensional monstruo incluso en el caso de al $\mathfrak g$ es $1$-dimensional.

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