Después de algunos pensaron que mi pesimismo (como se expresa en mi coincidencia con la respuesta
de Milne) se ha calmado un poco. Si yo fuera lo suficientemente valiente como yo conjetura de la
siguiente (suponiendo que la característica cero base es de campo algebraicamente
cerrado): Vamos a $\mathfrak g$ ser finito dimensionales Mentira álgebra sobre $k$ y dejar
$G$ ser el pro-algebraica de grupo cuya representación del tensor de la categoría
equivalente para el tensor de la categoría de finito dimensionales $\mathfrak
g$-modules. Then if $S$ is the (pro-)radical of $G$ and $U$ el (pro-)unipotentes
radicales $U$ e $G/S$ son algebraica de los grupos (unipotentes y semi-simple
respectivamente). Furthmore, el pro-torus $T:=S/U$ tiene como grupo de personajes
$\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ considerado como un aditivo
grupo. Por lo tanto el único infinito-dimensional parte es$T$, pero su carácter de grupo,
\emph{à priori} sólo un resumen de grupo, está razonablemente bien controlado. Este es
análogo al caso de irreductible de dimensiones infinitas
representaciones de un semi-simple Mentira grupo, donde el centro de la envolvente
álgebra de actos por parte de un personaje y el conjunto de caracteres como un conjunto es muy
de gran tamaño. Sin embargo es el conjunto de $k$-puntos de una variedad algebraica que significa
que está bajo control. La analogía va más allá, como la categoría de
$G$-representaciones (asumiendo $U$ es finito-dimensional) se divide en directo
producto de categorías parametrizada por cosets de el grupo de personajes de $T$ con
respecto al subgrupo generado por los personajes que ocurren en la acción de
$T$ en la Mentira de álgebra de $U$.
Aquí están algunos comentarios sobre la conjetura (yo no responden por completo
veracidad de mis afirmaciones).
Podemos obtener una imagen de $G/U$ observando la irreductible $\mathfrak
g$-representaciones (como corresponden exactamente a la irreductible
$G/U$representaciones). Todas las representaciones factor a través de $\mathfrak
g/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$, que es el producto de
$\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ e $\mathfrak g/\mathfrak{u}$.
Por lo tanto, las representaciones irreducibles son parametrizada por pares de un
$1$-dimensiones de la representación de $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ y
una representación irreducible de la semi-simple álgebra $\mathfrak
g/\mathfrak{u}$. This gives the prediction that $G/U$ debe ser el producto de un
toro con carácter de grupo $\mathfrak{u}/[\mathfrak{g},\mathfrak{u}]$ y el
simplemente conectado semi-simple grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g/\mathfrak{u}$.
Como para $U$, la idea es que la categoría de
unipotentes representaciones (es decir, las sucesivas ampliaciones de la trivial
la representación) de $\mathfrak g$ es equivalente a la categoría de
representaciones de la unipotentes grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g'$, el
máxima unipotentes cociente de $\mathfrak g$. Algo similar debe ser cierto
para las sucesivas extensión de la misma irreductible a la representación y no
no debería ser demasiado "mestizaje" entre los diferentes irreducibles.
[Agregado]
Yo un poco groseramente secuestrado a la pregunta mediante la adopción de las cosas que tal vez no se que
pertinente a la pregunta, así que permítanme dar una respuesta que creo que es más en la pista.
El problema es que uno no siempre se puede definir la algebraisation de un
resumen finito dimensionales Mentira álgebra $\mathfrak g$, incluso si algunos
algebraisation existe. Como ejemplos considerar un $2$-dimensiones Mentira álgebra
con base $x,y$ e $[x,y]=y$. Este es el álgebra de la Mentira de un número infinito de
algebraicas grupos: Vamos a la $1$-dimensiones torus $\mathbb G_m$ ley sobre la
aditivo grupo $\mathbb G_a$ por $(t,v) \mapsto t^nv$ donde $n\not=0$ y deje $G_n$ ser el
semi-producto directo de esta acción. Todos estos grupos tienen $\mathfrak g$ Mentira
álgebra, pero el único isomorphisms entre ellos es que el $G_n$ es isomorfo a
$G_{-n}$.
Lo que sí tiene sentido es hablar de una expresión algebraica casco de una incrustación de
$\mathfrak g\subseteq \mathfrak{gl}_m$, es decir, de un (fiel) $\mathfrak
g$-representación. En ese caso se puede considerar la intersección de todos los
algebraicas subgrupos de $\mathrm{GL}_m$ cuyo Mentira álgebra contiene $\mathfrak
g$. In terms of Zariski closures (when the base field is $\mathbb C$) es la de Zariski de cierre de la
exponenciales de todos los elementos de $\mathfrak g$ (dentro de
$\mathfrak{gl}_m$). Desde el Tannakian punto de vista este es el grupo que
corresponde al tensor de la subcategoría de la categoría de $\mathfrak
g$-representaciones generadas por una determinada representación.
Sin embargo, si uno quiere algo que es independiente de un particular
la representación que uno tiene que pasar a un límite inversa de grupos provenientes de
las diferentes representaciones. Esto conduce a un infinito dimensional monstruo incluso en
el caso de al $\mathfrak g$ es $1$-dimensional.
