De las funciones de Zeta a las curvas

Question

Deje $C$ ser un nonsingular curva proyectiva de género $g \geq 0$ sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ con $q$ elementos. A partir de esta curva, se define la función zeta $$Z_{C/{\mathbb{F}}_q}(u) = \exp\left(\sum^{\infty}_{n = 1}{\frac{\# C(\mathbb{F}_{q^n})}{n} u^n}\right),$$ válido para todos los $|u| < q^{-1}$. Esta función zeta se extiende meromophicially a $\mathbb{C}$ a través de la ecuación $$Z_{C / \mathbb{F}_q}(u) = \frac{P_{C / \mathbb{F}_q}(u)}{(1 - u) (1 - qu)}$$ para algunos polinomio con coeficientes en $\mathbb{Z}$ que factorises como $$P_{C/\mathbb{F}_q}(u) = \prod^{2g}_{j = 1}{(1 - \gamma_j u)}$$ con $|\gamma_j| = \sqrt{q}$ e $\gamma_{j + g} = \overline{\gamma_j}$ para todos los $1 \leq j \leq g$. Este último punto nos dice que $Z_{C / \mathbb{F}_q}(u)$ tiene una ecuación funcional y cumple una versión de la hipótesis de Riemann.

¿Qué pasa si nos encontramos con esta construcción, a la inversa? ¿Y si empezamos con un conjunto de números $\gamma_j$, $1 \leq j \leq 2g$, tal que $|\gamma_j| = \sqrt{q}$, $\gamma_{j + g} = \overline{\gamma_j}$ para todos los $1 \leq j \leq g$, y tales que el polinomio $$P(u) = \prod^{2g}_{j = 1}{(1 - \gamma_j u)}$$ ha coeficientes en $\mathbb{Z}$? Hay una manera de saber si la función $$\frac{P(u)}{(1 - u) (1 - qu)}$$ es la función zeta de algunos curva de $C$? Además, ¿qué es esta curva exactamente?

Un caso simple de esto es que si nos fijamos en la función $$\frac{1 - au + qu^2}{(1 - u) (1 - qu)}$$ para algunos $a \in \mathbb{Z}$ con $|a| \leq 2 \sqrt{q}$. ¿Cómo podemos determinar si esta función es la función zeta $Z_{C / \mathbb{F}_q}(u)$ de una curva elíptica $C$ sobre $\mathbb{F}_q$? Si es de hecho igual a$Z_{C / \mathbb{F}_q}(u)$, ¿cuál es la ecuación de Weierstrass para $C$ (asumiendo $\mathrm{char}(q) \geq 5$)?

Answer 1

Para determinar que el potencial zeta de las funciones son funciones zeta de las curvas es muy difícil. La función zeta de una curva está determinada por la función zeta de su Jacobiano de modo que uno podría pedir que el potencial zeta de las funciones son funciones zeta de abelian variedades. Este problema es resuelto (por Tate, aunque como recuerdo Waterhouse había participado también en la elaboración de algunos detalles) y la respuesta es que, en esencia todos los $P(u)$ que podría (es decir, tener raíces con los propios valores absolutos) se producen con cierta restricción adicional que tiene que ver con el endomorfismo anillo de la abelian variedad de tener que ser una orden en un semi-simple álgebra con algunos non-factor de división. Las condiciones son, igualmente, muy explícito y razonablemente fácil de comprobar.

El siguiente paso es escoger la zeta funciones de principalmente polarizado abelian variedades entre todos ellos. Esto implica más de la aritmética, pero también es factible.

La parte difícil es la Schottky problema, para recoger el Jacobians entre los principalmente polarizado abelian variedades. En principio, esto es resuelto (al menos en característica cero, estoy menos seguro acerca de la característica positiva), pero ninguna de las soluciones existentes mallas muy mal con el problema de zeta funciones como la solución para el problema de arriba no es muy explícito, y sólo le dice a usted acerca de la existencia de una p.p.una.v. con zeta función no una descripción de todos ellos.

Incluso cuando todo esto se puede hacer, por ejemplo en el género $1$ cuando la Schottky problema es trivial, no es trivial para obtener las ecuaciones. La razón de esto es, en esencia, que Tate existencia argumento es a través de la construcción de una característica $0$ abelian variedad con complejo de la multiplicación y luego la reducción es del modulo $p$. Por lo tanto, la única manera de ser explícito, parecería ser a primera obtener la ecuación de Weierstrass para el CM de la curva. Esto es ciertamente posible (y bastante, para algunos definición de ese término, de manera eficiente), pero está lejos de ser fácil. Por supuesto, todavía no se da todos los de la pag.p.una.v.'s con zeta función (aunque en algunos casos, por ejemplo, el caso ordinario, todos ellos son la reducción de un CM abelian variedad).

Anexo: Como Noam señala que hay un pequeño número de resultados generales y la exclusión de algunos zeta funciones para las curvas donde el p.p.una.v. existe. Estos se refieren en general a las mejoras de la Weil límites aprovechando el hecho de que, dada la zeta función podemos calcular el número de puntos de la curva sobre el campo y las extensiones de la misma y que estos deben ser no negativos y aumentar a medida que el aumento del campo (a pesar de que el real pruebas son a veces muy sofisticados). A ver si los límites obtenidos son nítidas un montón de esfuerzo también se ha invertido en la construcción específica de curvas con muchos puntos. En algunos casos especiales de argumentos puede ser utilizado para excluir a algunos valores. Consulte este sitio para las tablas, y estas diapositivas para una descripción de un particular análisis detallado de algunos casos.

Answer 2

En su último párrafo, que sugieren que usted está particularmente interesado en el caso de curvas elípticas. Esto es mucho más fácil que en el caso general, la cual es tratada bien por Torsten la respuesta.

Si $q$ es primo, y $|a| \leq 2 \sqrt{q}$, entonces siempre hay una curva elíptica con $\zeta$-función de $(1-au+qu^2)/(1-u)(1-qu)$. Este es el caso unidimensional de Honda del teorema. Voy a esbozar la prueba. Como se verá, utiliza algunos muy sofisticados métodos, y va a ser muy duro para hacerla efectiva.

Nota al margen: ¿Qué sucede cuando $q = p^k$ para $k>1$? Luego hay $2 p^{k-1}-1$ formas de elegir los $a$ a $0 \mod p$. Al $a=0$, la curva elíptica debe ser supersingular. Pero sólo hay $\approx p/12$ supersingular curvas elípticas sobre $\mathbb{F}_{p^k}$. Así que, una vez $2 p^{k-1}$ es mucho mayor que $p/12$, no va a ser $a$s de que no se produzca. Para ser honesto, no me queda claro qué sucede si usted alimenta a uno de estos $a$'s en Honda del teorema.

Prueba de Dibujo: Vamos a $R$ ser el anillo $\mathbb{Z}[\phi]/(\phi^2 - a \phi + q)$. $R$ es una orden en un imaginario cuadrática campo (el de la desigualdad de $a^2-4q<0$ se utiliza para demostrar que esta es una prolongación imaginaria.) Deje $K$ a ser el campo de fracción de $R$ y deje $H$ ser su campo de clase. Deje $\mathfrak{p}$ ser el ideal $(\phi)$ en $\mathcal{O}_K$. Desde $\mathfrak{p}$ que es lo principal, se divide en $H$; deje $\mathfrak{q}$ mentira más de $\mathfrak{p}$. Por lo $\mathcal{O}_H/\mathfrak{q} \cong \mathbb{F}_p$.

Deje $E$ ser una curva elíptica con complejo de la multiplicación por $R$; a continuación, $E$ puede ser definido a lo largo del $H$. ($E$ sólo está bien definido hasta un cuadrática de giro, en este punto). Tome un modelo de $E$ sobre $\mathcal{O}_H$. Deje $E_0$ ser la fibra a $\mathfrak{q}$. A continuación, $E_0$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{F}_p$. Uno puede mostrar que la Frobenius actos en $E_0$ por $\pm \phi$ o $\pm \overline{\phi}$, donde la barra es la automorphism de $R$ sobre $\mathbb{Z}$ procede del complejo de la conjugación. Cambiando el cuadrática de giro, uno puede asegurarse de que el signo es $+$. Entonces la traza de la Frobenius es $\mathrm{Tr}(\phi)$, que es $a$, como se desee.

Lo siento por hacer que esta tan avanzado, no sé una manera más fácil. Yo creo que usted puede encontrar la mayoría de las herramientas que estoy utilizando en Silverman los temas Avanzados en la aritmética de curvas elípticas.

Answer 3

En el caso de curvas elípticas, un algoritmo determinista para encontrar una curva elíptica $E/\mathbf{F}_p$ con un número prescrito de $\mathbf{F}_p$-puntos racionales (y por lo tanto una prescrito zeta función) se describe en el R. M. Bröker la tesis de Doctorado de la Construcción de curvas elípticas de orden prescrito (véase la página 30).

Se utiliza la idea, explicó en Torsten la respuesta, a saber, la construcción de un CM de curva elíptica en el carácter 0 y, a continuación, la reducción de la misma modulo $p$ (esta idea se remonta a Deuring). El algoritmo calcula algunos de Hilbert de la clase polinomio así que es bastante lento, se ejecuta en el tiempo $O(p)$. Parece ser más rápido (pero no deterministas más) para recoger al azar curvas elípticas sobre $\mathbf{F}_p$ hasta que uno encuentra el número correcto de puntos. Parece ser un problema para encontrar un algoritmo que se ejecuta en tiempo polinomial en $\log p$.