¿Por qué son importantes las formas diferenciales?

Question

Importancia de las formas diferenciales es obvio para cualquier aparejador y algunos analistas se ocupan de los colectores, y en parte porque muchos de los resultados en la moderna geometría y áreas afines, puede ser formulado sin ellos: por ejemplo, si usted desea aprender la definición de simpléctica colector, usted debe primero aprender lo que es el diferencial de la forma.

Sin embargo he escuchado otra opinión de la gente con la que no geométrica de fondo (es decir, el análisis funcional, la probabilidad) de que formas diferenciales probablemente se utiliza sólo en los problemas en los que ya aparecen en las definiciones básicas (como la geometría simpléctica). Cuando me enseñó un curso de graduación "Análisis sobre el colector" tuve la sensación de que mis estudiantes puedan tener la misma impresión en la final: en la segunda mitad del semestre, he desarrollado el cálculo de la diferencia de las formas con más bien pocas aplicaciones concretas. Personalmente estoy completamente convencido de la utilidad de formas diferenciales, pero parece que no es tan fácil de explicar esto a la gente que no están acostumbrados a ellos.

Me gustaría hacer una lista de aplicaciones concretas de formas diferenciales. También sería interesante saber las razones históricas para introducirlos. Para iniciar la lista, a continuación son algunos de los ejemplos que vienen a mi mente.

1) El general de la fórmula de Stokes $\int_M d\omega=\pm \int_{\partial M}\omega$ generaliza todas las clásicas fórmulas de Green, Gauss, Stokes.

2) La medida de Haar en una Mentira grupo puede ser fácilmente construido como una traducción invariante superior de forma diferenciada. (Algunos expertos prefieren considerar esto como un caso especial de una más general y más difícil el hecho de la existencia de Haar medir localmente compacto grupos. En esa generalidad no es tan sencillo y relativamente descripción explícita de Haar medir, ya que no hay un lenguaje similar a formas diferenciales.)

3) La cohomology de de Rham complejo de formas diferenciales sobre un colector es canónicamente isomorfo a singular cohomology (con coeficientes reales) del colector. Uno de los usos de este isomorfismo es que incluso los números de Betti de un simpléctica colector no son cero. Otro no-trivial uso de este hecho es la descomposición de Hodge de la cohomology (con coeficientes complejos) de un compacto de Kahler colector que se hace, en particular, un bi-graduada de álgebra (en lugar de sólo clasificado) y proporciona nueva información sobre los números de Betti, decir $\beta_{2k+1}$ debe ser par.

Answer 1

Las ecuaciones de Maxwell se vuelven infinitamente más elegantes (por no mencionar explícitamente covariantes) cuando se establecen en el lenguaje de forma diferencial.

Answer 2

En Chern-Weil Teoría, característico de las clases aparecen como ciertos cerrado de formas diferenciales asociados al vector de paquetes con conexiones (construye a través de la curvatura de la forma de la conexión).

Cuando se trata de Clifford paquetes, por ejemplo, spinors, que es una cosa interesante para el estudio de la física perspectiva, oigo), hay Getzler, el símbolo de mapa que envía Clifford elementos diferenciales de las formas; en este sentido, el Álgebra de Clifford aparece como un "cuantificada versión" del Álgebra de Grassmann.

Cuando usted sigue el Calor del Núcleo de la Prueba de la Atiyah-Singer Índice Teorema, formas diferenciales saltar fuera de la semiclásica asymptotics de que el calor del núcleo mediante Getzler del símbolo de asignación, y por algún milagro, estas son exactamente las $\hat{A}$ género y la Chern carácter, definido por Chern-Weil teoría.

Answer 3

Recordemos que el determinante de una matriz $A$ es el volumen del paralelepípedo formado utilizando las columnas de dicha matriz. Si tengo un $n$ colector y el diferencial de $n$forma $\omega = dx^1 \wedge .. \wedge dx^n$ y alimentar $n$ vectores entonces esto me da $$\omega(v_1,..,v_n) = \det( dx^i(v_j) )$$ This is precisely the volume of the $n$-parallelepiped formed using the $v_i$'s como columnas.

Ahora para un $k$-forma en un $n$-colector, es una idea similar. Si $\eta$ es $k$-formulario y nos identificamos con $k$ vectores, debería darnos el volumen de una $k$-paralelepípedo (el paralelepípedo debe vivir en el plano generado por los vectores de la fed en el $k$-forma). Estos pueden ser usados para determinar el área de $k$ submanifolds. La cosa habitual que hacemos si tenemos un submanifold es el uso de la involucración de mapa de tirar para atrás el volumen de forma a obtener un $k$-forma en la submanifold.

El punto de todo esto es, naturalmente, nos da la integración de más de colectores. Los vectores que elija para alimentar a la diferencial de la forma venido desde el espacio de la tangente del colector/submanifold. Podemos gridify el colector de uso de la homeomorphism y obtener la tangente vectores utilizando el homeomorphism (suave de los colectores al menos) y el uso de la $k$-la forma que se eligió para configurar integrales y obtener volúmenes.

Answer 4

Desde un punto de vista más topológico, creo que vale la pena leer el famoso artículo de Dennis Sullivan, Cálculos infinitesimales en topología (Publications Mathématiques de l'IHES, 1977), en el que construye modelos algebraicos de múltiples a partir de sus formas diferenciales. Explica cómo construir recursivamente tales modelos y da varios ejemplos. De esta construcción obtiene resultados profundos sobre los tipos de homotopía y los tipos de colectores de difeomorfismo.

Answer 5

Formas diferenciales se utilizan en la teoría geométrica de la medida para definir las corrientes. Uno de los usos de las corrientes es como una generalización de submanifolds, con mejores propiedades de compacidad. Es decir, es más fácil demostrar que una larga de las corrientes que convergen a una corriente. Esto puede dar una aproximación a la superficie mínima problema; consulte este encyclopediaofmath.org artículo.

Tal vez alguien puede dar un poco de mejor detalle o más de los usos de las corrientes.