Suma conectada de variedades topológicas

Question

Una definición de la conexión de la suma de dos $n$-colectores $M$ e $M'$ comienza por examinar dos $n$-bolas $B$ en $M$, $B'$ en $M'$, y el pegado de las variedades $M\setminus \mathring B$ e $M'\setminus \mathring B'$ a lo largo de su límite (un $(n-1)$-esfera) por una orientación de la inversión homeomorphism. La construcción depende a priori acerca de las distintas opciones, pero se afirma que en muchos lugares de la literatura (Lee el libro sobre topológica de los colectores, por ejemplo, así como la Wikipedia) que el resultado no depende de estas decisiones.

En el diferenciable caso, una referencia es dada a un teorema de Palacio (Natural de las operaciones en formas diferenciales, Thm. 5.5) que afirma - más o menos - que dos de incrustación de $n$-bolas se diferencian por un global de diffeomorphism que es isotópico a la identidad.

Son los detalles de esta independencia, escrito en algún lugar en la literatura, tanto en el continuo y liso caso?

Answer 1

En el topológica de la categoría de la prueba de que conectado suma está bien definido depende de el Anillo del Teorema, demostró por primera vez por Kirby; la necesidad de que el Anillo es el Teorema visto a Bruno Martelli la respuesta. Así que usted probablemente no va a encontrar una prueba antes de Kirby papel. Tal vez alguien tomó una prueba de abajo, tal vez alguien que pensaba sobre el Anillo del Teorema de cuando era todavía una conjetura, y se dio cuenta de que bien definedness de conectado suma que fue una buena aplicación. Pero, no sé.

De todos modos, la prueba es sencillo una vez que tienes el Anillo del Teorema. He aquí un boceto.

Hay un par de falta de hipótesis. Uno debe asumir la $M,M'$ están conectados. Uno debe asumir también su $M,M'$ están orientados. Y uno debe asumir las bolas $B,B'$ están "muy bien integrado"; como mínimo, se supone que el límite de las esferas $S,S'$ son localmente bicollared, lo que implica a nivel mundial bicollared por Brown del teorema. Esto descarta rudo como una cornuda de Alexander pelota.

Ahora una muestra de que el conectado suma es independiente de la elección de encolado mapa de $S \to S'$ (se asume que la orientación inversa). Esto se deduce del hecho de que cualquiera de los dos homeomorphisms $S \to S'$ que están de acuerdo sobre las orientaciones isotópica: una vez que se conoce, uno absorbe la isotopía en el collar de los barrios. Demostrando este hecho ya puede requerir el Anillo del Teorema.

Para el resto, esto es suficiente para demostrar que para cualesquiera dos muy bien incrustado bolas $B_1,B_2 \subset M$ existe una orientación de la preservación de homemeorphism de $M$ de los que tomaron $B_1$ a $B_2$, en realidad se trata de una isotopía de ambiente. Utilizando el límite bicollaring, podemos suponer que $B_1,B_2$ están contenidas, respectivamente, en el abierto de bolas $U_1,U_2$, que se centra en los puntos de $p_1,p_2$ en algunos de coordenadas del gráfico. También podemos suponer que $p_1=p_2$, porque hay un ambiente isotopía de $M$ de los que tomaron $p_1$ a $p_2$: conectar $p_1$ a $p_2$ por un camino, que cubren la ruta por un número finito de gráficos, y concatenar una secuencia de ambiente isotopies apoyo en estos un número finito de gráficos, moviendo $p_1$ a lo largo de la ruta paso a paso a $p_2$. También podemos reemplazar $B_1$ por arbitrariamente un pequeño subball en $U_1$ centrada en $p_1$, y del mismo modo para $B_2$; esto es fácil de comprobar la utilización de una isotopía de ambiente apoyado en las coordenadas de los gráficos para $U_1$ e $U_2$. En particular, podemos suponer $B_1$ está contenida en el interior de $B_2$.

Ahora aplique el anillo teorema: la diferencia de $B_2 \setminus B_1$ es homeomórficos a una esfera cruzó con un intervalo. El uso de este, uno puede ambiently de isótopos $B_2$ a $B_1$.

Answer 2

En el buen ajuste, le sugiero que lea el papel de Kervaire y Milnor en homotopy esferas.

El documento explica claramente que conectado suma debe ser definido con un poco de cuidado en las dimensiones superiores: si usted elige cualquier orientación de la inversión diffeomorphism de los dos $(n-1)$-esferas, y el resultado es una suave colector no está determinado (de baja dimensión topologists no les importa, porque los problemas surgen sólo cuando $n\geq 7$).

De hecho, cada exóticas esfera se obtiene pegando dos $n$-los discos a través de algunos diffeomorphism de sus límites, y esto implicaría que cada exóticas esfera es el conectado suma de dos $n$-esferas! De hecho, para definir de forma inequívoca el conectado suma que necesita para elegir un determinado isotopía de la clase de diffeomorphisms de los dos límites de $(n-1)$-esferas, y por suerte esto se puede hacer mediante la adopción de uno que se extiende a los dos eliminan discos. Esto está claramente explicado en el papel de Milnor y Kervaire.

Con ese requisito, conectado suma está bien definido y produce un resultado único (hasta diffeomorphism). La independencia del resultado se obtiene mediante un teorema de Palacio y Cerf que dice que dos liso incrustaciones de la $n$-disco en un conectada $n$-colector están siempre relacionados por un diffeomorphism del colector.

Answer 3

La versión anterior de este post era incorrecta.

EDITAR: Me acaba de enseñar una relacionada con el hecho de que en mi pregrado de la topología de la clase (en el topológica de la categoría), y de hecho me suelen dar una versión de este como una tarea de ejercicio (con matices).

La idea es definir conectado suma a lo largo de la coordenada de bolas, es decir, las bolas que se asignan a través de un fijo de coordenadas del gráfico estándar de bolas en $\mathbb R^n$. Para las bolas que el argumento es sencillo, y no el anillo teorema es necesario debido a que cualquiera de las dos métricas de bolas en $\mathbb R^n$ son ambiently isotópica por una isotopía que es igual a la identidad fuera un subconjunto compacto (esto se puede hacer con las manos desnudas). Desde el homeomorphism grupo de colector actúa transitivamente sobre el múltiple de admisión (buen ejercicio), cualquiera de los dos puntos pueden ser llevados en el mismo gráfico. Esto proporciona alguna pista (no incluye prueba) ¿por qué el conectado operación de suma es independiente de las decisiones.