Cómo encontrar el mínimo de $f(x)=(\sin(x)+\cos(x)+\tan(x)+\cot(x)+\sec(x)+\csc(x))^2$?

Question

Necesito encontrar el mínimo de $f(x)$ con $$f(x)=(\sin(x)+\cos(x)+\tan(x)+\cot(x)+\sec(x)+\csc(x))^2$$ Me podrían ayudar con algunas pistas?

Answer 1

Usted puede hacer lo siguiente:

Deje $$\sin x + \cos x = y$$

Entonces tenemos que $$\tan x + \cot x = \frac{2}{y^2 -1}$$

y

$$\sec x + \csc x = \frac{2y}{y^2-1}$$

Creo $$\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \sec x + \csc x $$ simplifies to $$y + \frac{2}{y-1}$$ (pero traté de hacerlo en mi cabeza, así que puede que haya cometido errores).

Y usted puede utilizar el estándar de cálculo de las técnicas, ahora. (pero tenga cuidado de eliminar los casos de esquina, etc).

Answer 2

A construido sobre @Queayiouer si divide la función como

$$ f(x) = \left( g(x) \right)^2 = \left( \left(\sin x+\frac{1}{\sin x}\right) + \left(\cos x+\frac{1}{\cos x}\right) + \left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right) \right)^2 $$

que el mínimo se produce si $g(x)=0$ o $g'(x)=0$. La primera es que no va a suceder.

Así que ahora tenemos

$$ g(x) = g_1(x) + g_2(x) + g_3(x) = \left(\sin x+\frac{1}{\sin x}\right) + \left(\cos x+\frac{1}{\cos x}\right) + \left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right) $$

Vamos a ver si las tres funciones tienen un mínimo común desde

$$ g_1'(x) = \cos(x) \left(1-\frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0 $$ $$ g_2'(x) = \sin(x) \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1 \right) = 0 $$ $$ g_3'(x) = \tan^2 x - \frac{1}{\tan^2 x} = 0$$

Desgraciadamente, esos nunca son todos cero al mismo tiempo. Así que supongo que para proceder numéricamente con Newton-Raphson método donde

$$ x \rightarrow x - \frac{ g_1(x) + g_2(x) + g_3(x) }{ g_1'(x) + g_2'(x) + g_3'(x) } $$

a partir de $x=1$ o algo así. Yo entre a $2.5<x<2.7$.