¿Cuánto de la teoría del carácter se puede hacer sin el lema de Schur o el teorema de Artin-Wedderburn?

Question

Esta es una forma un tanto imprecisa pregunta, como no estoy seguro de cómo exactamente cómo formalizar cómo hacer matemáticas "sin" una herramienta clave, pero esperemos que la intención de la cuestión seguirá siendo claro.

Deje $G$ ser un grupo finito. Tradicionalmente, un carácter $\chi: G \to {\bf C}$ a $G$ se define como la huella de un finito-dimensional de la representación unitaria $\rho: G \to U(V)$ de % de$G$, y, a continuación, la representación de la teoría de herramientas (incluyendo las de Schur del lema) puede entonces ser utilizada para obtener los resultados básicos de carácter de la teoría, incluyendo las siguientes afirmaciones:

1. La irreductible personajes forman un ortonormales base del espacio de $L^2(G)^G$ de funciones de clase, y todos los demás personajes son naturales número de combinaciones de la irreductible caracteres.
2. El espacio de caracteres que forman un semiring con identidad; en particular, para los tres caracteres irreducibles de $\chi_1,\chi_2,\chi_3$, la estructura de las constantes de $\langle \chi_1 \chi_2, \chi_3 \rangle$ son números naturales.
3. Para cualquier personaje $\chi$, $\chi(1)$ es un entero positivo.
4. Para cualquier personaje $\chi$, $\chi(g^{-1})=\overline{\chi(g)}$ para todos los $g$.
5. Para cualquier irreductible carácter $\chi$, la convolución de operación $f \mapsto f * \chi(1) \chi$ es un mínimo idempotente en $L^2(G)$, y uno tiene la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula de $f = \sum_\chi f * \chi(1) \chi$ para todas las funciones de clase $f$. Además, la imagen de $I_\chi$ de la convolución de la operación $f \mapsto f * \chi(1) \chi$ en $L^2(G)$ (o ${\bf C} G$) es una irreductible $G \times G$ de representación.
6. Si $\chi$ es una irreductible carácter de $G$, e $\eta$ es una irreductible carácter de un subgrupo de $H$ de % de$G$, entonces la constante de estructura $\langle \chi, \operatorname{Ind}^G_H \eta \rangle_{L^2(G)^G} = \langle \operatorname{Res}^H_G \chi, \eta \rangle_{L^2(H)^H}$ es un número natural.

Nota que la teoría de la representación no hacer explícito el aspecto en el anterior carácter de la teoría de los hechos (de la inducción y la restricción de caracteres que puede ser hecho en un carácter puramente teórico de nivel sin referencia explícita a las representaciones), de otra manera que como una de las conclusiones a la Realidad 5.

Nota también se pueden definir los caracteres directamente, sin hacer mención de las representaciones. El espacio de $L^2(G)^G$ de funciones de clase es un finito-dimensional álgebra conmutativa en virtud de la operación de convolución, y uno puede, a continuación, busque la mínima idempotents $f$ de esta álgebra; $f(1)$ entonces ser positivo, así que uno puede definir un "irreductible" carácter " $\chi$ asociado a este idempotente por la fórmula $f = \chi(1) \chi$ con $\chi(1) := f(1)^{1/2}$ siendo la raíz cuadrada positiva de $f(1)$. Entonces, uno puede definir un carácter arbitrario, a ser un número natural combinación de la irreductible caracteres. Esta definición de carácter da automáticamente Hechos 1, 4 y 5 de arriba (la $G \times G$-irreductibilidad de $I_\chi$ puede ser obtenida mediante el cálculo de la dimensión de $\operatorname{Hom}^{G \times G}(I_\chi,I_\chi)$ es uno), y si uno es permitido el uso de Schur del lexema (o el Artin-teorema de Wedderburn), también se puede demostrar que esta definición es equivalente a la usual representación de la teoría de la definición de un personaje que luego se le da el resto de Hechos 2, 3, y 6.

Mi (imprecisa) la pregunta es si se puede recuperar, Hechos 2, 3, y 6 de la no-representación de la teoría de la definición de un personaje, si uno es "no se permite" el uso de Schur del lexema o la Artin-teorema de Wedderburn. Ahora, no sé cómo rigurosamente formalizar el concepto de que no está permitido el uso de un determinado resultado matemático; mi primer intento fue la frase de que el problema con los números complejos reemplazado por el campo de la definición de los caracteres $\chi$ (o el cyclotomic campo de la orden de $|G|$), por lo que el campo subyacente no es algebraicamente cerrado y así Schur del lexema o Artin-Wedderburn no se aplican directamente. Pero este no es cualquier restricción en absoluto, ya que uno puede inmediatamente pasar a la clausura algebraica de estos campos con el fin de llevar Schur o Artin-Wedderburn de nuevo en juego. Otra opción es tomar un constructivista (o tal vez de invertir matemáticas) punto de vista, y que sólo se permita el uno del razonamiento matemático para trabajar con representaciones tan largo como ellos pueden ser construidos a partir de caracteres usando explícito, "functorial", la representación de la teoría de construcciones (por ejemplo, el tensor de la suma, el producto tensor, complemento ortogonal, isotypic componente, Schur functors, la inducción, o restricción) de representaciones concretas (por ejemplo, trivial representación, regular la representación, o quasiregular de la representación) pero prohibir cualquier argumento que requiere uno para hacer de "arbitraria" o "no functorial" elecciones en las representaciones (y, en particular, para dividir un isotypic representación o módulo en irreducibles). Sin embargo, no sé cómo formalizar este tipo de razonamiento matemático (tal vez uno tiene que introducir un adecuado topos?). También se ha sugerido a mí (por Allen Knutson) que tal vez de la correcta configuración de este marco es que de los grupos cuánticos sobre las raíces de la unidad en vez de la clásica grupos, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con los grupos cuánticos para la formalización de esta sugerencia.

Dejando de lado la cuestión de cómo formalizar correctamente la pregunta, uno puede hacer algo intrigante parcial progreso hacia Hechos 2, 3, 6 sin invocar Schur o Artin-Wedderburn. El isotypic representación $I_\chi$ tiene carácter $\chi(1) \chi$ por construcción, por lo que, en particular, esto demuestra que $\chi(1)^2$ es un número entero positivo que es, en cierto sentido, el "cuadrado" de Hecho 3. Considerando el $\chi_3\otimes \overline{\chi_3}$-isotypic componente de $I_{\chi_1} \otimes I_{\chi_2}$, considerado como $G \times G$ representaciones, uno puede asimismo demostrar que el cuadrado de $|\langle \chi_1 \chi_2, \chi_3 \rangle|^2$ de la constante de estructura $\langle \chi_1 \chi_2, \chi_3 \rangle$ es un número natural, y por la visualización de estas representaciones, en cambio, como $G$-representaciones también se obtiene que el $\chi_1(1)\chi_2(1) \chi_3(1) \langle \chi_1 \chi_2, \chi_3 \rangle$ es un número natural. Estos dos hechos no muy establecer Hecho 2, pero al menos muestran que el Hecho 3 implica Hecho 2. Por último, de Hecho 6 de la Frobenius reciprocidad $\langle \chi, \operatorname{Ind}^G_H \eta \rangle_{L^2(G)^G} = \langle \operatorname{Res}^H_G \chi, \eta \rangle_{L^2(H)^H}$ es fácil algebraica de identidad si uno define la inducción y la restricción de carácter teórico de los términos, y el mismo tipo de argumentos, como antes de que $|\langle \chi, \operatorname{Ind}^G_H \eta \rangle_{L^2(G)^G}|^2$ e $\chi(1) \eta(1) \langle \chi, \operatorname{Ind}^G_H \eta \rangle_{L^2(G)^G}$ son números naturales, por lo que nuevamente el Hecho 3 implicará la Realidad 6. (Por el contrario, no es difícil deducir Hecho 3 ya sea de Hecho 2 Hecho o 6.)

Así que todo parece que se reducen a 3, o, equivalentemente, que la dimensión de cualquier mínimo ideal de $L^2(G)$ (o ${\mathbf C} G$, si se prefiere) es un cuadrado perfecto. Este es inmediata a partir de la Artin-teorema de Wedderburn, y también se deduce fácilmente de Schur del lema (aplicado a una representación irreducible de este ideal), pero no he sido capaz de demostrar este hecho, sin una representación de la teoría (o módulo teórico) de la herramienta.

Los personajes dan un sustituto parcial de Schur del lexema, es decir, que la dimensión del espacio de $\operatorname{Hom}^G(V,W)$ de %de $G$- morfismos entre dos representaciones de $V,W$ es igual a $\langle \chi_V, \chi_W \rangle_{L^2(G)^G}$ donde $\chi_V, \chi_W$ son los caracteres asociados a $V, W$. Esto le da Schur del lexema cuando los caracteres $\chi_V, \chi_W$ son irreductibles en el sentido definido anteriormente (que se define a través de un mínimo idempotents y raíces cuadradas en lugar de a través de representaciones irreducibles). En el nivel de $G \times G$-representaciones, la isotypic componentes $I_\chi$ son irreducibles (en tanto el carácter de la teoría de la representación y de la teoría de los sentidos) y por lo tanto uno tiene una teoría satisfactoria a este nivel (que es lo que está dando el "cuadrado" de Hechos 2, 3 y 6), sino en el nivel de $G$-representaciones no son estos molestos multiplicidades de $\chi(1)$ que no parecen ser extraíble sin la capacidad de reducir a la subrepresentations para que Schur del lema se aplica.

De alguna manera el enemigo es una especie de fantasma escenario en el que un grupo como objeto de $G$ tiene un irreductible (pero de alguna manera no directamente observable) fantasma "representación" de una dimensión irracional, tales como (por ejemplo) $\sqrt{24}$, la creación de un isotypic componente $I_\chi$ cuya dimensión ($24$, en este caso) no es un cuadrado perfecto. Esto es claramente una situación absurda, pero que parece consistente con la versión debilitada de la teoría de la representación se discutió anteriormente, en el que Schur del lema, la Artin-teorema de Wedderburn, o "no constructivas" las representaciones no están disponibles. Pero no sé si esto es una verdadera limitación para este tipo de teoría (por ejemplo, se puede cocinar un quantum grupo con tales representaciones irracionales?), o si simplemente estoy falta algún argumento ingenioso.

(Mi motivación para esta pregunta, por cierto, es explorar los sustitutos por el carácter de la teoría de la representación o de la teoría de los métodos en la teoría de grupos finitos, por ejemplo, para encontrar pruebas alternas de Frobenius del teorema de Frobenius grupos, que en la actualidad se basa fundamentalmente en el Hecho 6.)

Answer 1

Podría ser útil para pensar acerca de la Morava $K$-teoría de anillos de $K(n)^*(BG)$ (para grupos finitos $G$). Para el trivial grupo de obtener el graduado de anillo de $k=\mathbb{Z}/p[v_n,v_n^{-1}]$ donde $|v_n|=2p^n-2$; para los grupos generales de obtener una finitely generado gradual en el módulo $k$ (y todos los módulos son gratuitos). Hay una estructura de anillo, la inducción y mapas de restricción, un producto interior, y así sucesivamente, lo $K(n)^*(BG)$ muy similar a $R(G)$. Sin embargo, uno puede encontrar ejemplos en $K(n)^*(BG)$ no tiene ninguna base que es permutada por $Aut(G)$, lo que significa que no tenemos nada análogo a la irreductible de los personajes. Una manera de hacer su pregunta más precisa sería la de restringir la atención a los métodos que también trabajo en este contexto.

Si no te gusta el hecho de que $k$ tiene características de las $p>0$, hay que ocurren naturalmente levantó versiones, donde el trivial grupo le da el anillo de $p$-ádico enteros, o un poder formal de la serie de anillo sobre el $p$-adics o algo un poco más grande que eso. Si dejamos $E$ denotar una de estas variantes, resulta que hay un tipo de carácter de la teoría debido a Hopkins, Kuhn y Ravenel. En lugar de clases conjugacy de elementos de $G$, es necesario considerar el conjunto $C_n$ de las clases conjugacy de $n$-tuplas de mutuo desplazamientos de los elementos de $p$-el poder de la orden. Hay entonces una cierta anillo de $L$ que es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}\otimes E^*(\text{point})$, y un isomorfismo natural $L\otimes E^*(BG)\to Map(C_n,L)$, de forma análoga a la descripción de $\mathbb{C}\otimes R(G)$ por la clase de funciones.

Answer 2

Pasé mucho tiempo escribiendo una respuesta a esta pregunta, pero MO no se cree que soy un ser humano ( yo lo hice mal el hechizo de una de las palabras de prueba, pero todo el mundo merece una segunda oportunidad, creo ), así que parece haber desaparecido. No estoy seguro de que tengo la energía para hacerlo de nuevo ahora, pero aquí (en resumen, aunque no precisa) son tres puntos pensé que vale la pena hacer/lo que sugiere:

1. El grupo determinante ha sido mencionado: en 1991, en una Proc AMS de papel, Formanek y Sibley, demostró que el grupo determinante determina el grupo. Tal vez usted podría utilizar el análogo del grupo determinante para desentrañar las propiedades que una estructura algebraica $G$, cuyo "carácter formal de la teoría de" satisface las propiedades que usted puede obtener sin Schur y Wedderburn, tendría. Un grupo de "determinante" que no iba a priori tienen la propiedad de que la multiplicidad de una irreductible factor es igual a su grado.

2. Es posible llegar muy lejos en la estructura del grupo de álgebra simplemente utilizando el álgebra simétrica estructura del complejo grupo de álgebra de $G$ inducida por la forma lineal $t$ con $t(\sum_{g \in G} a_{g}g ) = a_{1}.$ Desde $t$ se desvanece en nilpotent elementos, se deduce que los no-cero ideal de derecho de la $\mathbb{C}G$ se compone de nilpotent elementos y que para cada mínima (dos caras) ideal $A$ de $\mathbb{C}G$, $Z(A)$ es $1$-dimensional. Uno podría argumentar que esto es usando la teoría de la representación, ya que no es un a priori obvio que $t$ se desvanece en nilpotent elementos hasta que una de las notas que (hasta las múltiples $|G|$ ) $t$ es la traza concedida por el ordinario de la representación.

3. El teorema de Frobenius, y otras complemento normal teoremas de naturaleza similar sugieren que podría ser un análogo (bajo ciertas hipótesis) de la transferencia homomorphism pero cuando el grupo objetivo no es necesariamente Abelian. Ese teorema se puede probar en el caso de que $H$ es solucionable mediante el uso de la costumbre de transferencia de homomorphism, y lo que el teorema dice en el final (en el caso general) es que la identidad homomorphism de $H$ a sí mismo se extiende a un homomorphism de $G$ a $H.$ Si se trata de una transferencia de tipo de prueba, parece como si casi iba a funcionar, excepto que el orden de los productos que importa cuando el grupo objetivo no es Abelian. Sin embargo, el Teorema se hace en el extremo de decir que la homomorphism desea definir por "transferencia" está bien definido, después de todo.