Este es un intento de expresar una variante de Jason respuesta
en poco más abajo-a-tierra términos, por lo que tal vez menos ha de ser remitido a sus expertos. (Esta respuesta es demasiado largo para un comentario, asi que me hice un wiki de la comunidad.)
A mí me parece que en realidad sólo hay un punto difícil en el argumento más allá de la existencia de la Kuranishi deformación del espacio, a saber, el "Teorema" de abajo.
Paso 1: Nash artículo "Real algebraicas colectores", en Anales de las Matemáticas. (1952)
demostró que cada conectado compacto $C^\infty$ real colector de
es diffeomorphic a un componente real de una variedad algebraica.
Sólo hay countably muchas familias de la real variedades algebraicas,
y Ehresmann del fibration teorema (1950) muestra que
el diffeomorphism tipo es localmente constante dentro de cada familia.
Por lo tanto, hay sólo countably muchos diffeomorphism tipos.
Por lo tanto, ahora restringir la atención a uno.
Paso 2: Deje $M$ ser un equipo compacto $C^\infty$ real colector,
deje $T$ ser su tangente paquete,
y deje $E$ ser el paquete con fibras de $E_x := \operatorname{End} T_x$.
Fix $r$ no demasiado pequeño,
y deje $C^r(M,E)$ ser $\{\text{$C^r$ functions $M \a E$}\}$
con la $C^r$ compacto-abierta topología (Hirsch, topología Diferencial, 2.1),
que es segundo contable.
El espacio de $\operatorname{Comp}$
de estructuras complejas (es decir, integrable casi estructuras complejas) en $M$
es un subconjunto de $C^r(M,E)$; darle la topología de subespacio,
por lo tanto, también es segundo contable.
Explícitamente, estructuras complejas $I$ e $I'$ son cerca de
si de manera uniforme en $M$ están dentro de $\epsilon$ (con respecto a algunas de las métricas)
y lo mismo vale para sus derivadas hasta el orden de $r$.
Paso 3: Por otro lado,
deje $\mathcal{M}$ el conjunto de clases de isomorfismo de
compacto complejos colectores cuyo subyacente real colector de
es diffeomorphic a $M$.
Kuranishi demostrado que cada pequeño complejo colector de $X$
admite una deformación versal más
con la punta de su conectados complejo analítica del espacio $(B,0)$.
Cada deformación versal da lugar a un subconjunto de $\mathcal{M}$,
es decir, el conjunto de clases de isomorfismo de las fibras;
definir una topología en $\mathcal{M}$ en que estos subconjuntos formulario
una base de vecindades de el punto de $[X] \in \mathcal{M}$ determinado por $X$.
Paso 4: Vamos A $\Phi \colon \operatorname{Comp} \to \mathcal{M}$
ser el mapa enviar a $(M,I)$ a su isomorfismo de clase, como un complejo de colector.
A continuación, $\Phi$ es abierto porque para cualquier subconjunto abierto
$U \subset \operatorname{Comp}$ e $[X] \in \Phi(U)$,
una selección de $C^\infty$ banalización de una deformación versal sobre $B$
define una continua elevación $B \to \operatorname{Comp}$
de $B \to \mathcal{M}$.
El punto clave es ahora la siguiente (que parece ser una consecuencia de lo que Jason expertos afirmaron):
Teorema: $\Phi$ es continua.
(En otras palabras, dada una deformación versal de $X = (M,I)$,
cualquier estructura compleja $I'$ lo suficientemente cerca de a $I$ en la $C^r$ sentido
define un complejo colector de $(M,I')$ isomorfo a una fibra de la deformación.)
Dado esto, $\mathcal{M}$ es segundo contable
porque es la imagen de un segundo contables del espacio en un abrir mapa continuo.
Esto significa que $\mathcal{M}$ está cubierto por la countably muchos subconjuntos
cada una de las derivadas de una familia a través de una compleja analítica subespacio
en $\mathbf{C}^n$ para algunos $n$.
Cada base puede ser estratificado en complejos colectores, por lo que estamos por hacer.
