¿Euler probó teoremas con el ejemplo?

Question

En su 2014 libro, Giovanni Ferraro escribe al principio del capítulo 1, sección 1 de la página 7:

Capitolo Yo

Esempi e metodi dimostrativi

1. Introduzione

En El Cálculo como Algebraicas Análisis, Craig Fraser, riferendosi todas opera di Eulero e Lagrange, osserva:

Un teorema es a menudo considerado como demostró en caso de verificarse para varios ejemplos, en el supuesto de que el razonamiento en cuestión podría ser adaptado a cualquier otro ejemplo uno eligió a considerar (Fraser [1989, pág. 328]).

Le parole di Fraser colgono de la onu aspetto poco indagato della matematica dell'illuminismo.

Yo no soy fluido en italiano, pero la última frase parece indicar que Ferraro aprueba Fraser posición tal como se expresa en el pasaje citado en el original en inglés sin traducción al italiano.

Yo estaba frotando mis ojos como yo estaba leyendo esto así que me decidí a comprobar en Fraser original, pensando que tal vez el comentario es tomado fuera de contexto. He encontrado el siguiente pasaje más largo en Fraser página 328 citado por Ferraro:

El cálculo de EULER y LAGRANGE difiere de análisis posterior, en su supuestos acerca de la matemática de la existencia. La relación de este cálculo de la geometría o la aritmética es una de correspondencia lugar de la representación. Sus objetos son fórmulas construido a partir de variables y constantes uso de primaria y trascendental operaciones y la composición de funciones. Cuando EULER y LAGRANGE utilizar el término "continua" de la función de ellos se refieren a una función dada por una única expresión analítica; la "continuidad", significa la continuidad de forma algebraica. Un teorema es a menudo considerado como demuestra si verificado durante varios ejemplos, en el supuesto de que el razonamiento en cuestión podría ser adaptado a cualquier otro ejemplo que uno eligió para considerar.

Examinemos Fraser hipótesis de que en Euler y Lagrange, supuestamente "un teorema es a menudo considerado como demostró en caso de verificarse para varios ejemplos."

No veo Fraser presentar cualquier evidencia de esto. Ahora Wallis a veces se utiliza un principio de "inducción" en un sentido informal que una fórmula verificado para varios valores de $n$ debe ser cierto para todos los $n$, pero para esto ya era criticado por sus contemporáneos, un siglo antes de Euler y Lagrange.

Varios artículos se han publicado recientemente el examen de Euler de la prueba de la infinita producto fórmula para la función seno. La prueba se puede confiar en oculto lemas, pero es un sofisticado argumento de que está lejos de cualquier cosa que podría ser descrito como "verificación para varios ejemplos."

A mí me parece que este pasaje de Fraser es sintomático de una actitud de desdén general por los grandes maestros del pasado. Tal actitud desafortunadamente se encuentra entre un número de historiadores. Por ejemplo, encontramos el siguiente comentario:

Euler intentos por explicar las bases de cálculo en términos de diferenciales, que son y no son cero, son terriblemente débil.

(p. 6 en color Gris, J. `Una vida corta de Euler." BSHM Toro. 23 (2008), no.1, 1--12).

En una vena similar, en una nota a pie de página en el siglo 18 notación, Ferraro presenta una novela en la afirmación de que

para el 18 de siglo matemáticos, no hubo diferencia entre finito e infinito sumas.

(nota de pie de página 8, p. 294 en Ferraro, G. `Algunos aspectos de Euler de la teoría de la serie: inexplicable funciones y el de Euler-Maclaurin suma la fórmula". Historia Mathematica 25, no. 3, 290--317.)

Lejos de ser un comentario, el reclamo se hizo hincapié en una década más tarde, en el Prólogo a su libro de 2008:

una distinción entre lo finito y lo infinito sumas de dinero que faltaba, y esto dio lugar a procedimientos formales que consiste en la extensión infinita de finito procedimientos

(p. viii en Ferraro, G. El surgimiento y desarrollo de la teoría de la serie hasta principios de la década de 1820. Fuentes y Estudios en la Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Springer, Nueva York).

Grabiner no dude en hablar de

tembloroso del siglo xviii argumentos

(p. 358 en Grabiner, J. `Es matemático, la verdad, el tiempo-dependiente?" Amer. De matemáticas. Mensual 81 (1974), 354--365); es difícil evaluar su reclamo ya que no especifica los argumentos en cuestión.

En lugar de ver Fraser pasaje como problemática, Ferraro abre su libro con ella, que es sin duda un signo de aprobación. La actitud de desprecio hacia los maestros parece haber calado en el campo a tal punto que se ha adquirido el estatus de una condición sine qua non de un verdadero especialista.

En mi estudio de Euler he visto sofisticados argumentos en lugar de las pruebas, por ejemplo, salvo casos aislados como el de la fórmula de Moivre. En el otro lado de Euler obra es vasta.

Pregunta. Puede Euler han demostrado teoremas por ejemplo, en otros de un puñado de casos excepcionales, en ningún sentido?

Nota 1. Algunos editores solicitado ejemplos de lo que he descrito anteriormente como una desdeñosa actitud hacia los maestros del pasado por parte de algunos historiadores. Me ofreció un par de adicionales. Los editores son invitados a proporcionar ejemplos que han encontrado; creo que son omnipresentes.

Nota 2. Hemos tratado de establecer el record de Euler en este artículo reciente y también aquí.

Answer 1

Hay alguna evidencia de que, precisamente, el contrario puede decirse: que de Euler es consciente de las falacias de la prueba de teoremas por ejemplo (por supuesto, esto no significa necesariamente que él nunca lo ha utilizado). Memorable la instancia es su Exemplum Memorabile Inductionis Fallacis, donde se describe cómo él casi llevó a la conjetura de una fórmula recursiva para una determinada secuencia numérica hasta que descubrió que no estaban de acuerdo en el plazo de 10. (Hay otras razones para que la fórmula ha sido plausible; y que otros de los temas que se discuten en este artículo.)

(Por cierto, el "derecho" la fórmula es ya muy conocida.)

Answer 2

"La prueba, por ejemplo," es una técnica utilizada por Euclides, que a menudo resultó resultados que se mantenga por ejemplo, para n enteros en un caso típico, por ejemplo para 3 números enteros, así como por Diophantus, que tuvo que elegir valores para sus parámetros, debido a su falta de notación algebraica. Considero que ambas versiones como completar las pruebas.

Al parecer, esto es no lo que Fraser se refiere, Euler hizo generalizar a partir de ejemplos de teoremas en su Álgebra, de donde fue transferido resultados correctos de "los anillos de enteros" ${\mathbb Z}[i]$ general cuadrática anillos sin prueba; pero Euler escribió su álgebra cuando él era viejo y completamente ciego, y tal vez es justo decir que Euler fue la recopilación de pruebas para su "método" en lugar de con respecto a estos ejemplos como pruebas. Yo no soy consciente de que un solo ejemplo donde Euler explícitamente declaró que consideraba la verificación de los ejemplos como prueba, pero solo me ha leído su número de trabajos teóricos en detalle. La idea de que Lagrange demostró resultados de los ejemplos es ridículo.

Answer 3

No sé si esta respuesta añade nada a las que ya se han dado. Lo escribo porque es un ejemplo donde Euler explícitamente escribe acerca de la necesidad de dar una prueba, y lo que es más importante, las llamadas de una prueba dada por él mismo "Intento de prueba". La siguiente es su discurso, antes de su "intento de" a prueba de la suma de dos cuadrados en 1758, "En los números que son la suma de dos cuadrados". Dos años más tarde, él tiene otro papel con el título de " La prueba del Teorema de Fermat Que Todo Número primo de la Forma 4n + 1 es la Suma de Dos Cuadrados". En una manera, incluso los títulos de estos dos trabajos sugieren una respuesta a su pregunta.

Todos los números primos que son sumas de dos cuadrados, excepto 2, la forma de este la serie: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, etc. No sólo son estos contenidos en la forma 4n + 1, pero también, sin embargo ahora la serie es continuo, nos encontramos con que cada número primo de la forma 4n+1 se produce. A partir de esto, podemos concluir que la inducción por 6 que es más que probable que no existe ningún número primo de la forma 4n+ 1 que no es también una suma de dos cuadrados. Sin embargo, la inducción, sin embargo extensa, no puede cumplir con el papel de la prueba. Incluso si no hay nadie duda de la verdad de la afirmación de que todos los números primos de la forma 4n+ 1 son sumas de dos cuadrados, hasta ahora, las matemáticas no se pudo agregar a las verdades establecidas. Incluso Fermat declaró que había encontrado una prueba, pero debido a que él no publicar en cualquier lugar, hemos correctamente extender la confianza hacia la afirmación de ésta, la más profunda del hombre, y creemos que la propiedad de los números, pero este reconocimiento de la nuestra descansa en la fe pura, sin conocimiento. Aunque he trabajado mucho en vano en una prueba para ser descartado, sin embargo, he descubierto otra el argumento que se da por esta verdad, que, aunque no es totalmente riguroso, todavía parece ser equivalente a la inducción conectado con casi rigurosas pruebas.

La siguiente es la introducción de la segunda papel donde Euler resume el primer papel.

Me próximo pusieron un intento de la prueba de que la validez de este teorema se revela mucho más claramente, incluso si se debe establecer aparte de los estándares de pruebas rigurosas.

Answer 4

Sí, demostró Euler, como G. Pólya ilustra ilustrativamente en su:

"Inducción y analogía en matemáticas; Vol. 1 de Matemáticas y razonamiento plausible ".

Pólya da una traducción al inglés de los escritos de Euler en el cap. 6)

Se puede leer con muy poco conocimiento previo.