Infinitas soluciones de una ecuación diofantina

Question

Si $P(x,y,...,z)$ es un polinomio con coeficientes enteros, entonces cada entero solución de $P=0$ corresponde a un homomorphism de $\mathbb{Z}[x,y,...,z]/(P)$ a $\mathbb{Z}$. Así que hay infinitamente muchas soluciones iff hay infinitamente muchos homomorphisms. Si $P$ es homogénea, consideramos que las soluciones a un escalar factor.

Ahora si $G$ es un finitely generado grupo y $\Gamma=\langle X\mid r_1,...,r_n\rangle$ es de otro grupo, entonces cualquier solución del sistema de ecuaciones $r_1=1,...,r_n=1$ en $G$ corresponde a un homomorphism $\Gamma\to G$. Solemos considerar homomorphisms hasta conjugación en $G$. Ahora es bien sabido que si hay infinitamente muchos homomorphisms de $\Gamma$ a$G$,, a continuación, $\Gamma$ actos no trivialmente (sin un mundo de punto fijo) por isometrías en el cono asintótico de $G$ (es decir, el límite de espacios métricos $G,G/d_1, G/d_2,...$ donde $d_i\to \infty$, $G/d_i$ es el conjunto $G$ con la palabra métrica reescalado por $d_i$; aquí $d_i$ es fácil de calcular, a partir de la $i$-th homomorphism $\Gamma\to G$: dado un homomorphism $\phi$, podemos definir una acción de $\Gamma$ en $G$: $\gamma\circ g=\phi(\gamma)g$; el número de $d_i$ es el número más grande de tal forma que cada $g\in G$ es movido por uno de los generadores por, al menos, $d_i$ en la palabra métrica).

Pregunta. Hay un objeto similar para Diophantine ecuaciones, que es el si $P$ tiene una infinidad de soluciones integrales, a continuación, $\mathbb{Z}[x,y,...,z]/(P)$ "actos" en algo, no necesariamente un espacio métrico.

El motivo de mi pregunta es que varias declaraciones en teoría de grupos y la teoría de Diophantine ecuaciones afirmar la finitud de la cantidad de soluciones. Por ejemplo, Faltings teorema establece que si el género de las $P$ es lo suficientemente alta, entonces la ecuación de $P=0$ tiene sólo número finito de soluciones. Del mismo modo, si $\Gamma$ es una red en un rango superior semi-simple Mentira grupo, entonces el número de homomorphisms de $\Gamma$ a un hiperbólico grupo es finito (el último hecho de la siguiente manera debido a que el cono asintótico de un grupo hiperbólico es una $\mathbb{R}$-árbol, y un grupo con Kazhdan de la propiedad (T) no puede actuar no trivialmente en un $\mathbb{R}$-árbol).

Actualización: Para hacer la pregunta más concreta, considere uno de los más fáciles (en comparación con los otros enunciados) la finitud de los resultados acerca de Diophantine ecuaciones. Deje $P(x,y)$ ser un polinomio homogéneo. Si el grado de $P$ es de al menos 3 y $P$ no es un producto de dos polinomios con coeficientes enteros, entonces para cada entero $m\ne 0$ la ecuación de $P(x,y)=m$ tiene sólo un número finito de enteros soluciones. Es Thue del teorema. Tenga en cuenta que para el grado 2 de la declaración es falsa, porque de la ecuación de Pell $x^2-2y^2=1$. El estándar de prueba de Thue del teorema es este.

Deje que el grado de $P$ 3 (el caso general es similar). Representar a $P$ as $d(x-ay)(x-by)(x-cy)$ donde $a,b,c$ son las raíces de los cuales ninguno es racional, por supuesto. A continuación, se debe tener $|(x/y-a)|\cdot |(x/y-b)|\cdot |(x/y-c)|=O(1)/|y^3|$ infinitamente muchos enteros $x,y$. A continuación, el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña. Tenga en cuenta que si uno de los factores en el lado izquierdo es pequeño, los otros factores son $O(1)$ (todas las raíces son diferentes). Por lo tanto, tenemos que $|x/y-a|=O(1)/y^3$ (o el mismo con $b$ o $c$). Pero para todos, pero un número finito de $x,y$ tenemos $|x/y-a|\ge C/y^{5/2+\epsilon}$ cualquier $\epsilon>0$ por otro teorema de Thue (una "mala" aproximación a la propiedad de los números algebraicos), una contradicción.

La pregunta entonces es: ¿hay un asintótica de la geometría de la prueba de la Thue teorema.

Answer 1

Revisado

Pregunta interesante.

He aquí una idea:

Usted puede pensar en un anillo, como $\mathbb Z$, en términos de su monoid de afín endomorphisms $x \rightarrow a x + b$. La acción de este monoid, junto con una selección de 0 y 1, le dan a la estructura del anillo. Sin embargo, la monoid no es finitely generado, desde el multiplicativa monoid de $\mathbb Z$ es el libre abelian monoid en los números primos, los tiempos de la orden de 2 de grupo generado por $-1$.

Si usted toma un submonoid que sólo utiliza uno de los prime, es cuasi-isométrico a un cociente del plano hiperbólico por una acción de $\mathbb Z$, que es la multiplicación por $p$ en la mitad superior-espacio modelo. A ver este, lugar de puntos etiquetados por entero $n$ en la posición $(n*p^k, p^k)$ en la mitad superior del plano, para cada par de enteros $(n,k)$, y conectarlos por la línea horizontal y segmentos verticales de la línea de segmentos cada vez que los puntos están en la alineación vertical. El cociente de la mitad superior del plano por el hiperbólico isometría $(x,y) \rightarrow (p*x, p*y)$ tiene una copia del grafo de Cayley para este monoid. Esto también es cuasi-isométrico para el 1-punto de unión de las dos copias del plano hiperbólico, uno para los números enteros negativos, uno positivo integes. Es un ejercicio divertido, utilizando decir $p = 2$. Empezar desde 0, y de forma recursiva construir el grafo mediante la conexión de $n$ a $n+1$ por una flecha de color, y $n$ a $2*n$ por otra flecha de color. Si usted hace los arreglos enteros positivos en una espiral, usted puede hacer una casa de dibujo de este gráfico (o la gráfica correspondiente para diferentes prime.) Los números enteros negativos exactamente lo mismo, pero con el sucesor de flecha invertida.

Si utiliza varios de los números primos, la imagen se vuelve más complicado. En cualquier caso, uno puede tomar ajustaron los límites de estos gráficos, basados en una secuencia de puntos, y obtener asintótica de los conos para la monoid. La gráfica no es homogénea, por lo que no hay un límite.

Otro punto de vista es tomar los límites de $\mathbb Z$ sin reescalado, pero con un $k$-tupla de constantes $(n_1, \dots , n_k)$. El conjunto de posibles identidades entre polinomios en $k$ variables es compacto, por lo que hay un espacio compacto de límite de anillos para $\mathbb Z$ con $k$ constantes. Tal vez esta es una petición de principio: la identitites que definen los límites corresponden a diophantine ecuaciones que tienen una infinidad de soluciones. Reescalado puede eliminar parte de esta complejidad.

Un homomorphism $\mathbb Z[x,y,\dots,z]/P$ a $\mathbb Z$ da un homomomorphism de la correspondiente monoids, por lo que una secuencia infinita de estos le da una acción en algunos asintótica de cono para la afín monoid para $\mathbb Z$.

Con el conjunto infinito de números primos, hay otras opciones plausibles de cómo definir la longitud; ¿cuál es la mejor opción depende de si y cómo se puede demostrar nada de interés.