División por el número imaginario

Question

Me encontré con un problema de dividir por números imaginarios recientemente. Yo estaba tratando de simplificar:

$2 \over i$

Me encontré con dos métodos, los cuales producen resultados diferentes:

Método 1: ${2 \over i} = {2i \over i^2} = {2i \over -1} = -2i$

Método 2: ${2 \over i} = {2 \over \sqrt{-1}} = {\sqrt{4} \over \sqrt{-1}} = \sqrt{4 \over -1} = \sqrt{-4} = 2i$

Sé que a partir de la utilización de la fórmula de este artículo de la Wikipedia que el método 1 genera el resultado correcto. Mi pregunta es: ¿por qué el método 2 dar el resultado incorrecto? ¿Cuál es la válida paso?

Answer 1

El paso incorrecto, es decir:

$\sqrt{4}/\sqrt{-1} = \sqrt{4/-1}$

La identidad:

$\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}$

sólo se justifica cuando $a$ $b$ son positivos.

Answer 2

La única insonorizadas manera de estar seguro de encontrar el resultado correcto mientras que la división de dos números complejos

(a+bi) (c+di)

es reducirlo a una multiplicación. La respuesta es de la forma x+yi; por lo tanto

(c+di)(x+yi) = a+bi

y usted va a terminar con dos ecuaciones lineales, uno para el coeficiente real y otro para el imaginario. Como Simon y Casebash ya escribió, teniendo una raíz cuadrada conduce a problemas, ya que usted no puede estar seguro de que valor debe ser elegido.

Answer 3

Este es exactamente el mismo problema que en esta pregunta. Cada uno distinto de cero número complejo tiene dos números que la plaza a dar, con la misma magnitud, pero con signo opuesto. A la hora de definir la función de raíz cuadrada, tenemos que decidir cual de las raíces que queremos. Para números positivos, es obvio para elegir lo positivo de la raíz. Por número negativo, elegimos tener el positivo de los valores imaginarios, aunque debido a la simetría de la elección no significa mucho, de todos modos.

Así que, a ver si el estándar de la multiplicación y la división se aplican las leyes, entonces tenemos que considerar el dominio de los números. Ya sabemos que aplicar para no negativos de los números reales. Es fácil comprobar que para los números negativos sqrt(a))*sqrt(b)=-sqrt(ab) y sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b). Vemos también que, si a es positivo y b negativo, entonces sqrt(ab)=sqrt(a)sqrt(b), sqrt(a/b)=-sqrt(a)/sqrt(b) y sqrt(b/a)=sqrt(b)/sqrt(a).