¿Son algunos números más irracionales que otros?

Question

Algunos números irracionales son trascendentales, lo que los hace, en cierto sentido, más "irracional" de números algebraicos. También hay números, tales como la proporción áurea $\varphi$, que son poco approximable por racionales. Pero me pregunto si hay otro sentido en el que un número es más irracional que el otro.

Considere el siguiente bien conocida irrationals: $\sqrt{2}$, $\varphi$, $\log_2{3}$, $e$, $\pi$, $\zeta(3)$.

Las pruebas de la irracionalidad de estos números aumentan en dificultad de grado de la escuela argumentos, al cálculo, a los métodos avanzados. Otras probable irrationals como $\gamma$ más probable es que tenga muy difíciles pruebas.

Puede que esta noción se hizo preciso? Hay una bien definida de la manera en que, por ejemplo, $\pi$ es más irracional que $e?$

Answer 1

Sí, no hay tal cosa como la irracionalidad de la medida de un número real (no estoy seguro de si se puede / ya se ha extendido a los números complejos). Se basa en la idea de que todos los números algebraicos (incluyendo la proporción áurea) son difíciles de aproximar bien por racionales, en relación con el tamaño del denominador de la racional, mientras que a veces es posible que un trascendental número que se aproximan mejor. En particular, si un número $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ tiene la propiedad de que hay infinidad de aproximaciones racionales $\frac pq\in\mathbb{Q}$ con $|\,\alpha-\frac pq| < q^{-t}$,, a continuación, $t$ es un límite inferior para la irracionalidad medida de $\alpha$; el mayor $t$, es decir, el mejor de sus aproximaciones son relativos al denominador, el "más irracionales" que son, al menos desde un Diophantine aproximación punto de vista.

De la Wikipedia: La irracionalidad de la medida de un número racional es 1; el profundo teorema de Thue, Siegel, y Roth muestra que cualquier algebraica de números que no es racional tiene la irracionalidad de medida 2; y trascendental números tendrán una irracionalidad medida $\geq2$. Sin embargo, como Douglas Zare ha señalado en los comentarios, el conjunto de trascendental números de la irracionalidad de medida $>2$ tiene medida 0, por lo que en la mayoría de los casos es, desafortunadamente, no es útil como una comparación.

Parece que la irracionalidad medida de $\pi$ actualmente no es conocido, pero que hay límites superior; el más reciente, he podido encontrar es este, que parece que $\mu(\pi)\leq7.6063$. El artículo de la Wikipedia afirma que $\mu(e)=2$, así que si o no $\pi$ es "más irracional" de $e$ se ve como una pregunta abierta.

Answer 2

Las otras respuestas y comentarios son fascinantes, especialmente acerca de la irracionalidad de medir, pero que me permiten darle un poco más de información a lo largo de las líneas de la Marca de Sapir la respuesta de mencionar que hay varios muy grande, intensamente estudiado las jerarquías de la complejidad para reales de los números. Después de la inicial familiar nociones venir varios otros...

• racional

• algebraicas

• computable

El computables reales son aquellos para los cuales se pueden calcular aproximaciones racionales para cualquier precisión deseada, por Turing de la máquina. (Un concepto que se utiliza en computables análisis.) El computables subconjuntos de $\mathbb{N}$ son aquellos para los cuales podemos calcular yes/no hay respuestas para membresía en lo finito tiempo. Por ejemplo, todos los números que usted menciona en el pregunta, como $\pi$ e $e$, son computables.

• computably enumerable

La c.e. subconjuntos de $\mathbb{N}$ son aquellos para los cuales no es una computable enumeración de procedimiento. De manera equivalente, que puede calcular el sí de las respuestas para la membresía en lo finito tiempo. El concepto de relación (oracle) la computabilidad conduce a la jerarquía de Turing grados, que mide la comparativa computable de la complejidad de un real.

• aritmética

Un real $x$ es aritmética si es dígitos puede ser definido por una definición que involucran sólo a la cuantificación sobre los recursos naturales números y operaciones primitivas. Equivalentemente, el aritmética de los subconjuntos de $\mathbb{N}$ surgir a partir de la computable subconjuntos de $\mathbb{N}^k$ por proyección y el complemento. La aritmética jerarquía se rompe de forma natural en los niveles, como la $\Sigma^0_n$ y $\Pi^0_n$, que corresponde a la lógica de la complejidad de estos definiciones, y estos niveles se perfeccionan por el Turing grados. Por ejemplo, el conjunto de máquina de Turing programas $p$ que calcular el total de las funciones de los formularios a completar $\Pi^0_2$ conjunto. El relativiza la noción conduce a la media aritmética de los grados.

• hyperarithmetic

Un real es hyperarithmetic si puede ser definida por dos definiciones equivalentes, uno que sólo uno universal cuantificador más de los reales, y la otra sólo uno el cuantificador existencial sobre los reales, y cualquier otra nivel de la aritmética cuantificadores. Este es el mismo como $\Delta^1_1$. El hyperarithmetic jerarquía está estratificado en una jerarquía de longitud $\omega_1^{CK}$, un lightface versión de la Borel jerarquía, en el que uno usa uniformemente computable contables de los sindicatos y complementos. El relativiza la noción conduce a la hyperarithmetic grados, un hyperarithmetic analógica de Turing grados.

• proyectiva

Un real es proyectivo si puede ser definida por un descripción de que cuantifica sólo sobre el conjunto de real los números, además de número natural de la cuantificación y de la primitivo operaciones. El proyectiva jerarquía es estratificado teniendo en cuenta la complejidad lógica de estas definiciones, con los niveles de $\Sigma^1_n$ e $\Pi^1_n$. Por ejemplo, el lightface analíticos conjuntos de $\Sigma^1_1$ y co-analítica es $\Pi^1_1$, con hyperarithmetic ser $\Delta^1_1=\Sigma^1_1\cap\Pi^1_1$.

• edificable

Un real es edificable , si es que existe Gödel de la edificable universo $L$. El concepto de relación constructibility da lugar a la constructibility grados, por lo que $x\sim y\leftrightarrow L[x]=L[y]$, formando una rica jerarquía.

• ordinal definibles por el

Un real (o set) es ordinal definibles por el si hay una definición de la misma en el idioma de la teoría, utilizando ordinal parámetros. Por ejemplo, el real cuyas $n^{th}$ dígito binario es $1$ sólo en caso de $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$ es ordinal definibles. La clase HOD de todos los hereditariamente ordinal conjuntos definibles satisface ZFC, pero puede ser estrictamente menor que el universo de todos los los conjuntos.

• genérico

Un real es genérico más de $L$ (o algún otro fijo universo $V$) si existe una forzando la extensión de $L$ (o $V$) por conjunto de forzamiento. Por supuesto, es relativamente consistente con ZFC que cada verdadero es genérico más de $L$, ya que esto es verdad en $L$ sí, pero bajo unas grandes cardenal axiomas, no son reales, tales como $0^\sharp$, que no pueden ser agregados por obligando a más de $L$.

Los niveles más altos de estos últimos las jerarquías son más desarrollado y estratificada por la enorme variedad de modelos de la teoría de conjuntos derivadas de los grandes señores cardenales, a los diversos interior modelo de construcciones, obligando a extensiones y así sucesivamente, de modo que la jerarquía pierde su naturaleza lineal, se convierte en una la densa selva de diversos interactúan los conceptos de la teoría de conjuntos.

Answer 3

Es fácil inventar criterios para comparar la irracionalidad de diferentes números, pero dudo que alguien entienda la irracionalidad lo suficientemente bien como para dar un criterio serio. Ni siquiera sabemos la fracción continua para la raíz cúbica de 2. Tampoco es la "dificultad" o la duración de una prueba de irracionalidad un criterio razonable. Un teorema solo tiene una prueba difícil o larga hasta que uno encuentra una prueba fácil o corta.

Answer 4

En principio, sí, puede medir la irracionalidad de un número por la longitud de una prueba formal más corta (en algún sistema de prueba formal), algo así como la complejidad de una secuencia de Kolmogorov . Pero es difícil (si es posible) calcular y su utilidad no está clara.

Answer 5

En respuesta a una pregunta sobre la comparación de la irracionalidad de los números reales, escribí, "Un teorema sólo tiene un difícil o largo de la prueba hasta que se encuentra una fácil ni corto la prueba". Marca Sapir respondió, "sólo Hay [un] número finito de pruebas de longitud de 10^10 así que en su última declaración es incorrecta". Yo diría que, en cambio, que hay muchas polémicas y, tal vez, mal suposiciones filosóficas e ideas erróneas implícito en Sapir la sentencia. Por ejemplo, uno podría estatales y demostrar el teorema, "La suma de los tres primeros números impares es nueve." Uno podría estatales y probar otro teorema, "La suma de los cinco primeros números impares es de 25 años." Uno podría estatales y probar otro teorema, "La suma de los 100 primeros números impares es de 10.000." Continuando, se llega a las declaraciones de longitud mayor de 10^10, y cuyas pruebas sería aún más. Por supuesto, alguien podría tener la inteligente idea de probar inductivamente que, para todos los enteros positivos n, la suma de los n primeros números impares es n^2, y entonces uno tiene una corta prueba de infinidad de teoremas. Es exactamente este tipo de "exponencial colapso," a menudo llamado "el progreso en la ciencia, lo que quise decir cuando escribí una prueba es largo hasta que se encuentra una breve prueba. Yo estaría muy interesado en saber si alguien puede realmente probar que existen teoremas que no tienen corta pruebas. Es más probable que sólo hay un número finito de teoremas, y todos ellos han breve, sencilla y elegante de las pruebas. Esto, por supuesto, es simplemente otra descripción de Erdos' famoso libro.