Caracterización de la positividad de las leyes formales de grupo.

Question

El grupo formal de la ley asociada con una generación de función $f(x) = x + \sum_{n=2}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$ es $$f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)).$$ En mi tesis, he encontrado un gran número de ejemplos del grupo formal de las leyes que han combinatoria interpretaciones y por lo tanto tienen no negativo de los coeficientes. En la Sec 9.1 yo conjeturó la siguiente caracterización de la positividad de un grupo formal de la ley:

Conjetura. $f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y))$ tiene no negativo de los coeficientes de si y sólo si $$\phi(x) = \frac{1}{\frac{d}{dx} f^{-1}(x)}$$ ha no negativo de los coeficientes.

Al menos una dirección es fácil: La positividad de la FGL implica la positividad de $\phi(x)$.

No he sido capaz de demostrar lo contrario, pero hay algunas pruebas. Empezar con $$\phi(x) = 1 + t_1x + t_2\frac{x^2}{2!} + t_3\frac{x^3}{3!} + \cdots$$ for indeterminates $t_i$ and define $f(x)$ by $f(0) = 0$, $1/(f^{-1})'(x) = \phi(x)$, or equivalently, $f'(x) = f(\phi(x))$. Then we can compute the coefficients of $f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y))$ and they seem to all be polynomials with nonnegative coefficients in the variables $t_i$.

A menudo es más esclarecedor considerar el ligeramente más general simétrica de la función $$F = f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2) + \cdots).$$ The expansion of $F$ en el monomio base del anillo de funciones es simétrica

\begin{align*} F = m_1 &+ (2t_1)\frac{m_{11}}{2!} + (3t_2)\frac{m_{21}}{3!} + (6t_1^2 + 6t_2)\frac{m_{111}}{3!}\\ &+ (4t_3)\frac{m_{31}}{4!} + (12t_1t_2 + 6t_3)\frac{m_{22}}{4!} + (36t_1t_2 + 12t_3)\frac{m_{211}}{4!} \\ &+ (24t_1^3 + 96t_1t_2 + 24t_3)\frac{m_{1111}}{4!} + (5t_4)\frac{m_{41}}{5!} + (30t_2^2 + 30t_1t_3 + 10t_4)\frac{m_{32}}{5!}\\ &+ (60t_2^2 + 80t_1t_3 + 20t_4)\frac{m_{311}}{5!} + (120t_1^2t_2 + 120t_2^2 + 150t_1t_3 + 30t_4)\frac{m_{221}}{5!}\\ &+ (420t_1^2t_2 + 240t_2^2 + 360t_1t_3 + 60t_4)\frac{m_{2111}}{5!} \\ &+ (120t_1^4 + 1320t_1^2t_2 + 480t_2^2 + 840t_1t_3 + 120t_4)\frac{m_{11111}}{5!}\\ &+ \cdots \end{align*}

Tenga en cuenta que $f(x)$ aquí tiene una combinatoria de interpretación debido a Bergeron-Flajolet-Salvy: $f(x)$ es la exponencial de generación de función para el aumento de los árboles ponderados por su grado de secuencia en las variables $t_i$. Así que no hay razón para pensar que no es una combinatoria de interpretación de $F$ en términos de aumento de los árboles.

Un interesante caso especial, si $\phi(x) = 1 + x^2$, por lo que el $f(x) = \tan(x)$. A continuación, los asociados grupo formal de la ley es una suma de funciones de Schur de la escalera de cables de forma: $$f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2) + \cdots ) = \sum_{n=1}^\infty s_{\delta_{n} / \delta_{n-2}}$$ where $\delta_n$ is the partition $(n,n-1, n-2, \ldots, 1)$. (Véase Ardila-Serrano, La Proposición 3.4.) Esto también puede ser interpretado en términos de binario el aumento de los árboles.

En muchos de los ejemplos que se dan en mi tesis me encontré con que había una combinatoria de interpretación de la FGL en términos de cromática simétrica funciones, pero yo no era capaz de aplicar los métodos para este caso más general.

Edit: Tom Copeland me sugirió la participación de algunos de los Salvia código que he usado para generar estos coeficientes. Aquí está una Jupyter notebook en CoCalc que muestra los cálculos.

Answer 1

Dado $\phi(x)\in\mathbb{R}[[x]]$, con $\phi(0)=1$, se han definido $g(x):=\int^x_0{dt\over \phi(t)}$, $f:=g^{-1}$ y $$F(x,y)=f\big(g(x)+g(y)\big)=\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) {y^n\over n!}\in\mathbb{R}[[x,y]].$$ Let's write a recursion for the coefficient sequence $\psi_n=\partial_y^nF(x,0)\in\mathbb{R}[[x]]$, solving by series the differential equation satisfied by $F$,

$$\cases{\phi(x)\, F_x(x,y)=\phi(F(x,y))\\ F(x,0)=x\ .}$$

Uno encuentra $\psi_0=x$, $\psi_1=\phi,\dots$ . Tomemos $\partial_y^n$ a $ {y=0}$ en ambos lados. Faà di Bruno: $$\partial_y^n\big( \phi\circ F\big)\big|_{y=0}=\Big(\sum_{\alpha\in\operatorname{par}[n]} \phi_y^{(|\alpha|)} (F)\, \prod_{s\in\alpha} \partial_y^{|s|}F \Big) \ \Big|_{y=0} =\sum_{\alpha\in\operatorname{par}[n]} \phi^{(|\alpha|)}(x) \prod_{s\in\alpha} \psi_{|s|}(x) ,$$ (Legenda: La suma está indizada en el conjunto de todas las particiones de $[n]:=\{1,2,\dots,n\}$, e $|\cdot|$ denota la cardinalidad. La última igualdad proviene de $F(x,0)=x$ e $\partial_y^{j}F(x,y)\big|_{y=0}=\psi_j$). Ahora podemos aislar el plazo $\phi'\psi_n$, que corresponde a la partición de $\alpha$ en una sola clase, a partir de los términos de la suma indizada en el conjunto de la no-trivial, particiones, con $|\alpha|>1$, denotado $\operatorname{par}^*[n]$. Tenga en cuenta que cada uno de estos términos contiene más de un factor de $\psi_j$.

$$\phi\psi'_n -\phi' \psi_n =\sum_{\alpha\in\operatorname{par}^*[n]} \phi^{(|\alpha|)} \prod_{s\in\alpha} \psi_{|s|} .$$ Multiplicando por el factor de integración $\phi^{-2}$ , y desde $\psi_n(0)=0$, para $n>1$ $$ \psi_n(x) =\phi(x)\int_0^x\big(\!\sum_{\alpha\in\operatorname{par}^*[n]} \phi^{(|\alpha|)} \prod_{s\in\alpha} \psi_{|s|}\,\big)\phi^{-2}\ dt .$$

Ahora está claro por completo de inducción que para cualquier $n\ge1$, $\psi_n$ es igual a $\phi$ veces una serie con coeficientes positivos, demostrando su conjetura.

Answer 2

Esto es realmente sólo un comentario. Su pregunta es equivalente a la siguiente: si tenemos un grupo formal de la ley $$ F(x,y) = x + y + \sum_{i,j>0} a_{ij}x^iy^j \in \mathbb{Q}[[x,y]] $$ con $a_{1j}\geq 0$ para todos los $j$, es cierto que $a_{ij}\geq 0$ para todos los $i$ e $j$? Como usted dice, los coeficientes de $a_{ij}$ puede ser expresado como polinomios en los coeficientes $a_{1j}$, y de estos polinomios parecen tener no negativo de los coeficientes, pero no he tenido éxito en encontrar una prueba de que.

Su tesis es muy interesante. Su "contráctiles de las especies" son esencialmente operads con una especie de no-degeneración condición que es generalmente satisfechos. Nunca he visto una conexión entre operads y grupo formal de las leyes antes, pero parece una dirección prometedora de investigación, que pueden ser relevantes para las aplicaciones del grupo formal de las leyes en topología algebraica.

Answer 3

Un problema equivalente es mostrar la positividad de los factores de conexión $c^1_{i,j}$ en las expansiones

$$p_i(t)p_j(t) = \sum^{i+j}_{n=1}\; c^n_{i,j}p_n(t),$$

donde $p_n(t)$ son de ciclo de partición de índice polinomios de los grupos simétricos (A036039) con el indeterminates $x_n = (-1)^{n-1}h_{n-1}t \;$ e $h_n$ están homogénea simétrica polinomios con todos sus indeterminates positivo. El $c^1_{i,j}$ son esencialmente los coeficientes de la FGL expansión Strickland muestra. Con $(a.)^n = a_n = f^{(n)}(0)\; $ e $\phi_n= n!t_n = e_n$, la primaria simétrica polinomios,

$$c^1_{j,k} = p_j(a.)p_k(a.)= p_j(t)p_k(t)|_{t^n=a_n}.$$

Jair, en su Sabio cálculos, si los coeficientes de f(x) se expresa como su desarrollo en serie de Taylor de los coeficientes, es decir, están normalizados por la factoriales, es más fácil reconocerlos como A145271, el refinado Euleriano números. Lo mismo para su polinomios p, y si los coeficientes de p se agrupan por potencias de t y se expresa como la primaria simétrica polinomios/funciones $e_n=n!t_n=n!\phi_n \;$, es fácil ver que son firmado A036039 con la correspondiente determina los anteriores, por ejemplo, $3! p_3 = 2(e_1^2-e_2)t - 3e_1t^2+t^3 = 2h_2t-3h_1t^2+t^3$.

Consulte "grupo Formal de las leyes y binomial Sheffer secuencias" para obtener más detalles y ejemplos.

Editar (Feb. 8 de 2018):

Los cálculos parecen mejor caracterizado en términos de $f^{-1}(x)= x - (c_2x^2+c_3x^3+\cdots)$. A continuación, $f(x)=e^{a.x}, \;$ donde $a_n/n!$ son los refinados cara polinomios de la Stasheff associahedra (positivos de los coeficientes de A133437) y $p_n(t)$ son los refinados Lah / polinomios de Laguerre de A130561 con indeterminates $(x_1,x_2,x_3,..)= (t,-c_2t,-c_3t,..)\;,$ relacionado a la escuela primaria Schur polinomios. A continuación, de nuevo $p_n(a.)=0$ e $c^1_{j,k}=p_j(a.)p_k(a.).$

Editar (Feb. 12 de 2018):

Más que una conjetura por Majer,

$$f[f^{-1}(x)+f^{-1}(y)]=\exp[f^{-1}(x) \cdot \phi(x)D_x]x = \exp[y \cdot p.(\phi(x)D_x)]x,$$

así

$$\psi_n(x) = p_n(\phi(x)D_x)x.$$

La iterada generador infinitesimal se da en términos de $t_n$ por A139605 (el Comtet Una polinomios), que actúa en $x$ da A145271 (el refinado Euleriano polinomios, llamarlos $a_n(x)$) con coeficientes enteros. Los polinomios $p_n(x)$ puede ser expresado como el refinado de Stirling polinomios de primer tipo (ciclo de índice de polinomios para $S_n$), se observó anteriormente, o como muchos otros de la composición de la partición de polinomios. En efecto, entonces tenemos el entero de los coeficientes como Majer siente por

$$\psi_n(x) = p_n(a.(x))$$

con $\psi_n(0)=\delta_{n-1}.$

Estos polinomios y los operadores pueden ser representados como diversos combinatoric estructuras, por lo que con buen combinatoria interpretaciones de composiciones pueden la última de las construcciones.

Editar (Apr 9, 2018): he Aquí un extracto de un correo electrónico a mí de Nigel Ray en 2014 respecto de la Rota de interés en este tema:

"Me temo que "Extensiones de la UC (I)" de largo es anterior a la de látex, pero aquí hay un enlace a los Avances

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870886900654

(siempre y cuando usted tiene el permiso). Fue Gian-Carlo Rota que me sugirió escribir esto, cuando me topé con él un día en Berkeley - él estaba intrigado por la conexión con el grupo formal de las leyes. Cuando me dieron la oportunidad de explicar esto a él en más detalle (creo que fue en Boston) se centraron en el hecho de que se explicó la incógnita que siempre había tenido con el binomio de secuencias, es decir, cómo expresar sus productos como combinaciones lineales de los mismos. Todavía pienso en la UC como "grupo formal de las leyes a través de Hurwitz de la Serie" (es decir, dividido poder formal de la serie), y esperamos que no queda margen para el desarrollo de ese punto de vista."