El grupo formal de la ley asociada con una generación de función $f(x) = x + \sum_{n=2}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$ es $$f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)).$$ En mi tesis, he encontrado un gran número de ejemplos del grupo formal de las leyes que han combinatoria interpretaciones y por lo tanto tienen no negativo de los coeficientes. En la Sec 9.1 yo conjeturó la siguiente caracterización de la positividad de un grupo formal de la ley:
Conjetura. $f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y))$ tiene no negativo de los coeficientes de si y sólo si $$\phi(x) = \frac{1}{\frac{d}{dx} f^{-1}(x)}$$ ha no negativo de los coeficientes.
Al menos una dirección es fácil: La positividad de la FGL implica la positividad de $\phi(x)$.
No he sido capaz de demostrar lo contrario, pero hay algunas pruebas. Empezar con $$\phi(x) = 1 + t_1x + t_2\frac{x^2}{2!} + t_3\frac{x^3}{3!} + \cdots$$ for indeterminates $t_i$ and define $f(x)$ by $f(0) = 0$, $1/(f^{-1})'(x) = \phi(x)$, or equivalently, $f'(x) = f(\phi(x))$. Then we can compute the coefficients of $f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y))$ and they seem to all be polynomials with nonnegative coefficients in the variables $t_i$.
A menudo es más esclarecedor considerar el ligeramente más general simétrica de la función $$F = f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2) + \cdots).$$ The expansion of $F$ en el monomio base del anillo de funciones es simétrica
\begin{align*} F = m_1 &+ (2t_1)\frac{m_{11}}{2!} + (3t_2)\frac{m_{21}}{3!} + (6t_1^2 + 6t_2)\frac{m_{111}}{3!}\\ &+ (4t_3)\frac{m_{31}}{4!} + (12t_1t_2 + 6t_3)\frac{m_{22}}{4!} + (36t_1t_2 + 12t_3)\frac{m_{211}}{4!} \\ &+ (24t_1^3 + 96t_1t_2 + 24t_3)\frac{m_{1111}}{4!} + (5t_4)\frac{m_{41}}{5!} + (30t_2^2 + 30t_1t_3 + 10t_4)\frac{m_{32}}{5!}\\ &+ (60t_2^2 + 80t_1t_3 + 20t_4)\frac{m_{311}}{5!} + (120t_1^2t_2 + 120t_2^2 + 150t_1t_3 + 30t_4)\frac{m_{221}}{5!}\\ &+ (420t_1^2t_2 + 240t_2^2 + 360t_1t_3 + 60t_4)\frac{m_{2111}}{5!} \\ &+ (120t_1^4 + 1320t_1^2t_2 + 480t_2^2 + 840t_1t_3 + 120t_4)\frac{m_{11111}}{5!}\\ &+ \cdots \end{align*}
Tenga en cuenta que $f(x)$ aquí tiene una combinatoria de interpretación debido a Bergeron-Flajolet-Salvy: $f(x)$ es la exponencial de generación de función para el aumento de los árboles ponderados por su grado de secuencia en las variables $t_i$. Así que no hay razón para pensar que no es una combinatoria de interpretación de $F$ en términos de aumento de los árboles.
Un interesante caso especial, si $\phi(x) = 1 + x^2$, por lo que el $f(x) = \tan(x)$. A continuación, los asociados grupo formal de la ley es una suma de funciones de Schur de la escalera de cables de forma: $$f(f^{-1}(x_1) + f^{-1}(x_2) + \cdots ) = \sum_{n=1}^\infty s_{\delta_{n} / \delta_{n-2}}$$ where $\delta_n$ is the partition $(n,n-1, n-2, \ldots, 1)$. (Véase Ardila-Serrano, La Proposición 3.4.) Esto también puede ser interpretado en términos de binario el aumento de los árboles.
En muchos de los ejemplos que se dan en mi tesis me encontré con que había una combinatoria de interpretación de la FGL en términos de cromática simétrica funciones, pero yo no era capaz de aplicar los métodos para este caso más general.
Edit: Tom Copeland me sugirió la participación de algunos de los Salvia código que he usado para generar estos coeficientes. Aquí está una Jupyter notebook en CoCalc que muestra los cálculos.