La homotopía como principio organizador general

Question

Una de las realizaciones que llevó al desarrollo de Homotopy Tipo de Teoría (HoTT) es que las ideas de homotopy teoría muy amplia aplicabilidad de las matemáticas. De hecho, Quillen modelo de categorías comprenden muy general las ideas que surgen en una variedad de lugares. Para citar Mike Shulman:

Personalmente, no me resulta especialmente sorprendente que homotopy teoría tiene más de una aplicación a algunos de los otros sujetos, más de lo que me sería de extrañar que la categoría de teoría hace. Creo que cada vez es más claro que ambos de ellos son de carácter general, la organización de los principios de las matemáticas.

Me gustaría construir una lista de ejemplos interesantes de este, especialmente inesperados de las aplicaciones de las ideas de homotopy teoría de lo contrario, lejos de las áreas de las matemáticas.

Answer 1

En el nLab la organización idea es que homotopy de la teoría y de mayor categoría son lo organiza las matemáticas. (Como en Lo que es.... el nLab?). Como un deliberado juego de palabras en Wikipedia "punto de vista neutral" esto se llama la "n punto de vista".

Aquí "de mayor categoría de la teoría" y el $n$™ se refiere $(\infty,n)$-categoría teoría, por tanto, en particular, también homotopy teoría ($(\infty,0)$-categoría de teoría).

Por alguna razón, gran parte de la discusión que tuvimos fue sobre cómo hablar de él sin molestar a aquellas personas que no quieren creer... En cualquier caso, comenzamos a hacer algunas páginas con listas de ejemplos. como

• las aplicaciones de mayor categoría de la teoría de la

• de mayor categoría de la teoría y la física

Cada vez que miro hacia atrás en estas entradas me doy cuenta de lo imperfectos que son, a pesar de un poco de tiempo invertido en ellos. Eso es cómo va. Pero es un comienzo.

Answer 2

Un buen lugar para empezar sería el siguiente dos lugares donde una Medalla Fields, fue otorgado a una homotopy teórico:

1. Quillen de la invención de Mayor Algebraica de K-teoría y el uso de la categoría de modelos de lenguaje para hacer resoluciones en un contexto en que antes no eran posibles (lo que llevó a los nuevos cálculos, por ejemplo, K-teoría de campos finitos). Quillen utiliza categorías de modelo para demostrar que la derivada de la categoría $D(R)$ se triangula, un hecho que no se había conocido anteriormente. También le permitió utilizar homotopy teórico de los métodos para una gama mucho más amplia de la clase de los anillos.
2. Motivic Homotopy la Teoría para resolver el Milnor Conjetura y replantear algunas otras famoso número de la teoría de las conjeturas. Esto tiene el beneficio añadido de que permite "hacer homotopy teoría" con los esquemas.

Muchas buenas referencias, si usted desea leer más sobre esto último se puede encontrar en este MO pregunta.

Answer 3

Jacob Lurie acaba de terminar la enseñanza de un curso en Stanford titulado Tamagawa los Números a través Nonabelian la Dualidad de Poincaré. Usted puede leer la definición de una Tamagawa número aquí (sé que yo nunca había oído hablar de ellos antes). Basado en eso, estoy bastante sorprendido de homotopy teoría (en la forma de cuasi-categorías de ahora, no en el modelo de categorías) entra en juego aquí, pero de nuevo, es como una unificar y organizar punto de vista que permite construir cosas puramente formalmente a través de propiedades universales. Esta forma de pensar tiene un montón de gente la esperanza de que Lurie, la maquinaria puede ser utilizado en todo tipo algebraico de problemas.

Answer 4

Tener un homotopy teoría de Operads da un marco muy general para hablar de rectificación, donde la carne hasta la cantidad algebraico de la estructura de su objeto. En particular, una vez que te das cuenta de $A_\infty$ como el cofibrant reemplazo de $Ass$ y una vez que usted pone las estructuras del modelo en $A_\infty$-y alg $Ass$-alg (es decir, el pleno de la subcategoría de álgebras asociativas), luego de la rectificación es solo la existencia de una izquierda Quillen functor. Cosas similares se mantenga por $E_\infty$-y alg $Comm$-alg (de nuevo, si ambos admiten un modelo de estructura) y para $L_\infty$-y alg $Lie$-alg. Un buen lugar para leer sobre esto es Berger-Moerdijk Axiomático Homotopy para Operads (2003). Los mismos autores posteriormente trabajó en el $W$-construcción (o Boardman-Vogt resolución) en mucho más generalidad, la cual permite construir cofibrant reemplazos de operads a mano, en lugar de basarse en general teoremas de existencia.

Answer 5

Finnur Lárusson ha desarrollado la teoría de la homotopía holomórfica en su trabajo sobre la teoría de Oka. Realmente no sé nada al respecto, pero los detalles se pueden encontrar aquí .