Es un gran problema!
Teorema. Los matemáticos tienen una estrategia ganadora en el juego para todos los ordinales $\alpha$.
Prueba. Vamos a probar el teorema por inducción transfinita. Supongamos que los matemáticos tienen estrategias ganadoras en los juegos de una determinada longitud de $\beta$ menos de $\alpha$, y fijemos acordado estrategias para esos juegos. Considere ahora el caso de $\alpha$ muchos matemáticos. Voy a describir una estrategia ganadora. En el espacio de todas las posibles asignaciones de colores de sombrero a la $\alpha$ muchos matemáticos, definir que dos de estas asignaciones son equivalentes $s\sim
t$, si están de acuerdo de algunos ordinal
en adelante; es decir, están de acuerdo en un segmento cola $[\beta,\alpha)$ de % de$\alpha$. Deje que los matemáticos están de acuerdo en la elección de representante
para cada una de las $\sim$-clase de equivalencia. Ahora, supongamos que los sombreros se dan
a cabo. Cada matemático (excepto la última, en el caso de que $\alpha$ es un ordinal sucesor) es capaz de observar la cola de un segmento de la
asignación real dado, y por lo tanto sabe el $\sim$-clase de la real
de asignación. Deje que el matemático en cualquier posición $\gamma$ comparar lo observado asignación de más allá
$\gamma$ con la asignación de la pre-elegido representante de
esa clase. Si están de acuerdo perfectamente más allá de $\gamma$, entonces vamos a
matemático $\gamma$ anunciar el color del sombrero que él
o ella se pondría de acuerdo con el representante de la asignación.
De lo contrario, matemático $\gamma$ observa algunos
los errores en las posiciones más allá de $\gamma$. Deje $\beta$ ser el supremum
de las posiciones de estos errores, de modo que $\gamma<\beta$, pero también
$\beta<\alpha$ desde el observado asignación totalmente de acuerdo
con el representante de algún punto. En este caso, vamos matemático $\gamma$ ignorar la parte de la asignación de
más allá de $\beta$, y en lugar de usar el fijo de la estrategia para el juego de
las asignaciones de longitud $\beta$, usando sólo la información acerca de los sombreros de hasta el $\beta$.
Observe que si $\beta$ es el supremum de los lugares donde el
asignación real difiere de la representante, entonces todo el mundo
más allá de $\beta$ va a adivinar correctamente, y todo el mundo antes de $\beta$
se compute $\beta$ correctamente y por lo tanto el uso de la estrategia acordada para
la longitud de la $\beta$ juego. Así que por la hipótesis de inducción, sólo
un número finito de que esté equivocado. QED
Permítanme describir también otra estrategia, en el estilo de Alan Taylor, de lo que yo
el recuerdo de una charla que dio en nuestro seminario en Nueva York en varias
años. Véase también Christopher S. Hardin y Alan D. Taylor, Una Peculiar Conexión Entre el Axioma de Elección y la Predicción del Futuro, que se mencionó en los comentarios.
Vamos a comprobar directamente que no hay una estrategia para $\alpha$ muchos
los matemáticos. Primero de todo, dejar que los matemáticos están de acuerdo sobre una
fija bien el pedido de $\triangleleft$ de espacio de sombrero
$\alpha$-tareas. Ahora, supongamos que los sombreros son entregados. Vamos
cada matemático observar la parte del sombrero de asignación de
a los matemáticos por delante, y dejar que cada matemático calcular
el $\triangleleft$-menos total de la asignación que está de acuerdo con la
parte de la asignación real de que se observen. Cada
matemático debe predecir que su propio sombrero de color es el mismo
como en el $\triangleleft$-menos de la asignación de que se compute.
Ahora sostienen que sólo un número finito de los matemáticos están equivocados. El
el punto principal es que si $\gamma<\beta$, entonces el
$\triangleleft$-menos de la asignación que el matemático $\gamma$
calcula es al menos tan alta en el $\triangleleft$ orden de la
$\triangleleft$-menos de la asignación que el matemático $\beta$
calcula, desde matemático $\gamma$ observa toda la información que $\beta$ observa y más acerca de la asignación real de los sombreros. Que es, como usted se mueve más alto en los matemáticos,
la calculada $\triangleleft$-menos de aproximación sólo puede moverse hacia abajo en el
$\triangleleft$ si no cambia. Cada vez que hay una estimación incorrecta a medida que se asciende en los matemáticos, nos
gota estrictamente menor en el $\triangleleft$-bien-pedido. Y desde $\triangleleft$ es un bien de orden, esto solo puede suceder
un número finito de veces. Por lo tanto, sólo un número finito de matemáticos de adivinar
incorrectamente.
El argumento es muy general, y lleva a la conclusión de
que en cualquier orden parcial, donde los matemáticos son mirando hacia arriba, entonces la colección de incorrecto adivina formas de conversar un bien fundado subconjunto. Y uno incluso puede generalizar más allá de esto, como Hardin y Taylor hacer.
