¿Qué, precisamente, establece el Programa de Erlangen de Klein?

Question

La gente escribe que el Programa de Erlangen es un "programa" (como el "Programa Langlands"), es decir, una serie de conjeturas relacionadas, que en este caso fueron todas resueltas. Hay varias explicaciones intuitivas, describiendo que este programa trata sobre la relación entre álgebra y geometría, sobre la relación entre grupos de transformación de espacios (grupos de Lie) y diferentes geometrías, invariantes, etc.

Lo que no he podido encontrar es una declaración precisa en lenguaje moderno (por ejemplo, no el de su documento original) sobre cuáles eran las conjeturas de Klein. ¿Cuáles eran precisamente sus conjeturas, o equivalente, qué resultados constituyen su resolución? ¿O es que nunca hubo realmente una declaración precisa?

Answer 1

Para la parte histórica de la pregunta, ¿qué tal si lees a los historiadores (profesionales) de las matemáticas, por ejemplo, como punto de partida: Jeremy Gray, programa Erlangen de Felix Klein, en Obras Emblemáticas de las Matemáticas Occidentales, ed. I. Grattan-Guinness, Elsevier, p. 544-552, 2005, que explica las circunstancias del artículo y su contenido principal, y proporciona una bibliografía.
De hecho, ¡el programa no era una serie de conjeturas! Establecía una visión de la geometría en la que una geometría estaba asociada a un grupo de transformaciones (no de forma única, por supuesto), y (una parte a menudo olvidada) esto también debería proporcionar invariantes explícitos. Fue importante porque 1) la geometría aún se entendía comúnmente como "geometría" y no como "geometrías" en ese momento, 2) permite clasificarlas y mostrar las analogías/identidades entre diferentes geometrías (algunas bastante extrañas hoy en día). Como han mencionado otros anteriormente, desde nuestro punto de vista, muchas cosas no fueron incluidas, por supuesto, por ejemplo, la geometría de Riemann estaba explícitamente fuera de ello (fue un logro de la generación de Elie Cartan, y especialmente del propio Elie Cartan, integrar a Riemann en esta imagen). La influencia del programa también ha sido estudiada extensamente. Saludos, C. Goldstein

Answer 2

Nota: No estoy seguro si has visto este documento, pero lo publico aquí como respuesta y cito un par de párrafos, ¡no son mis palabras! También hay este libro.

La primera sección del Programa de Erlangen de Klein (E.P.) anunció su tema principal de la siguiente manera (E.P., 67): "Dada una variedad y un grupo de transformación actuando sobre ella, investigar aquellas propiedades de figuras [Gebilde] en esa variedad que son invariantes bajo [todas] las transformaciones de ese grupo". En el lenguaje de hoy en día, Klein propuso estudiar el concepto de una variedad homogénea: una estructura $[M,G]$ que consiste en una variedad $M$ y un grupo $G$ actuando de manera transitiva en $M$. Esto contrasta fuertemente con el concepto de una estructura $[M;d]$ de Riemann que consiste en una variedad en la cual se define una métrica $d(p,q)$ por medio de una diferencial de distancia local $ds^2 = \sum g_{ij}dx_idx_j$.

Dos párrafos más tarde, Klein reformuló su propuesta en una única y concisa oración: "Dada una variedad y un grupo de transformación actuando sobre ella, estudiar sus invariantes". Así que Klein también estaba proponiendo aplicar a la geometría el concepto de un 'invariante' que Clebsch, Jordan y sus predecesores habían aplicado previamente al álgebra, y solo al grupo lineal completo.

Answer 3

(Reescrito en respuesta al comentario de David Corfield a continuación.)

Una visión algo más moderna del Programa de Erlanger se presentó en la charla de Tarski de 1966 ¿Qué son las nociones lógicas? (publicada en 1986), según se describe en el artículo de Wikipedia sobre Tarski, que propone una distinción entre lo que es lógico y lo que no lo es. La idea es que a medida que se afloja la teoría (desde la geometría euclidiana a la geometría afín a la topología a...), el grupo de automorfismos relevante se vuelve cada vez más grande, de modo que los grupos de automorfismos máximos (grupos simétricos) corresponden a teorías de máxima flexibilidad, donde se quedan solo con nociones puramente lógicas.

Sin embargo, hay que decir que la idea de Tarski fue claramente anticipada por F.I. Mautner, que escribió en 1946; ver aquí. Para algunos comentarios sobre esto, ver esta publicación de David Corfield en el Café de la Categoría $n$.

Como autopromoción descarada, mencionaré que James Dolan y yo también incursionamos un poco en esto; algunos resultados se describieron en el Café de la Categoría $n$, aquí y aquí. Allí describimos una correspondencia de Galois entre subgrupos de grupos simétricos y teorías completas, en términos categóricos.

Answer 4

D. E. Rowe señala que no se debe leer demasiado en programa:

Klein lo escribió para cumplir con un requisito formal que incumbía a cada nuevo Ordinarius que ingresaba a la facultad de Erlangen. De hecho, su nombre no tenía nada que ver con un nuevo programa de investigación matemática, sino que se deriva de haber sido un "Programm zum Eintritt in die philosophische Fakultät und den Senat" en Erlangen.

(Igualmente W. Killing y muchos otros.)

Answer 5

Un pequeño complemento:

Es bueno echar un vistazo a lo que pensaban los contemporáneos sobre el programa de Klein y cómo se articulaba con el gran tema de la época: la teoría de invariantes clásica. En particular, la reseña de Franz Meyer mencionada en mi respuesta a MO96140 es una referencia útil en este sentido (el programa de Klein se menciona en las páginas 19, 42 y 45).

En el extremo opuesto del eje del tiempo, se puede notar que el programa de Klein sigue siendo una fuente de inspiración para los matemáticos, ver por ejemplo este artículo publicado hoy en arXiv por Freed y Hopkins.