¿Por qué debería preocuparme por las formas modulares topológicas?

Question

Parece haber mucha actividad reciente en relación con las formas modulares topológicas (TMF), que deduzco que es una extraordinaria teoría de cohomología construida a partir de la teoría clásica de las formas modulares en el espacio de los módulos de las curvas elípticas. Deduzco que los teóricos de la homotropía lo consideran un gran logro.

Mi pregunta es la siguiente: ¿qué tipo de problemas topológicos más clásicos es útil para resolver? Está claro por qué los no algebraicos-topólogos deben preocuparse por las teorías más clásicas de cohomología extraordinaria (por ejemplo, la teoría K y la teoría del cobordismo); permiten soluciones elegantes a problemas que son obviamente de interés clásico. ¿Permite también el TMF soluciones a esos problemas, o sólo tiene interés técnico dentro de la topología algebraica?

Mis antecedentes: mis intereses de investigación son la geometría y la topología, pero no soy un topólogo algebraico (aunque he usado bastante topología algebraica en mis investigaciones).

Answer 1

Una de las conexiones más estrechas con la topología geométrica proviene probablemente de los invariantes de las variedades. La razón que motivó el desarrollo de las formas modulares topológicas fue la Género Witten . La versión original del género Witten asocia invariantes de series de potencia en $\mathbb{C}[[q]]$ a las variedades orientadas, y se argumentó que lo que calcula en M es una $S^1$ -índice equivariante de un operador de Dirac en el espacio de bucle libre $Map(S^1,M)$ . También es un género elíptico, que Ochanine describe mucho mejor de lo que yo podría hacerlo aquí .

Se supone que esto tiene un comportamiento especialmente interesante en ciertas variedades. Una orientación de una variedad es una elevación de la estructura de su haz tangente desde el grupo ortogonal $O(n)$ al grupo ortogonal especial $SO(n)$ que puede considerarse como la elección de los datos que presentan la trivialidad de la primera clase de Stiefel-Whitney $w_1(M)$ . Un colector de espín tiene su grupo estructural elevado a $Spin(n)$ , trivializando $w_2(M)$ . Para las variedades de Spin, la primera clase de Pontrjagin $p_1(M)$ es canónicamente dos veces otra clase, que a veces llamamos " $p_1(M)/2$ "; un colector de cuerdas tiene una elevación al grupo de cuerdas que trivializa esta clase. Al igual que el $\hat A$ -se supone que el género de Witten toma valores enteros en las variedades con estructura de espín, Witten argumentó que el género de Witten de una variedad de cuerdas debería tomar valores en un determinado subring. $\Bbb{Z}[[q]]$ que son formas modulares. Este es un subring muy particular $MF_*$ isomorfo a $\Bbb{Z}[c_4,c_6,\Delta]/(c_4^3 - c_6^2 - 1728\Delta)$ .

El desarrollo de la teoría de la cohomología elíptica universal ${\cal Ell}$ su refinamiento en los primos $2$ y $3$ a las formas modulares topoógicas $tmf$ y la llamada orientación sigma se iniciaron por el deseo de probar estos resultados. Produjeron una factorización del género Witten $MString_* \to \Bbb{C}[[q]]$ de la siguiente manera: $$ MString_* \to \pi_* tmf \to MF_* \subset \Bbb{C}[[q]] $$ Además, el mapa $\pi_* tmf \to MF_*$ puede verse como un morfismo de borde en una secuencia espectral. También hay estructuras multiplicativas en esta historia: el género $MString_* \to \pi_* tmf$ preserva algo más fuerte que la estructura multiplicativa, como ciertos productos secundarios de las variedades de String y las construcciones geométricas de "potencia".

¿Qué nos aporta este refinamiento, puramente desde el punto de vista de las invariantes de los colectores?

• El mapa $\pi_* tmf \to MF_*$ es un isomorfismo racional, pero no una suryección. En consecuencia, hay ciertos valores que el género de Witten no toma, al igual que el $\hat A$ --de una colector de Spin de dimensión congruente a 4 mod 8 debe ser un número entero par (lo que implica el teorema de Rokhlin). Algunos ejemplos: $c_6$ no está en la imagen pero $2c_6$ lo que obliga a que el género de Witten de las variedades de String de 12 dimensiones tenga números enteros pares en su expansión en serie de potencias; de forma similar $\Delta$ no está en la imagen, pero $24\Delta$ y $\Delta^{24}$ ambos lo son. (La imagen completa requiere más trabajo para describirla).

• El mapa $\pi_* tmf \to MF_*$ tampoco es una inyección; hay muchas clases de torsión y clases en grados Impares que se aniquilan. En realidad, éstas proporcionan invariantes de bordismo de las variedades de cuerdas que no son detectadas por el género de Witten, pero que están conectadas moralmente en algún sentido porque pueden describirse cohomológicamente a través de congruencias universales de géneros elípticos. Por ejemplo, las variedades enmarcadas $S^1$ y $S^3$ y el discurso de Mike Hopkins en el ICM al que enlazó Drew describe cómo una gama realmente sorprendente de colectores enmarcados es detectada perfectamente por $\pi_* tmf$ .

Estos resultados podrían considerarse como "la siguiente versión" de la misma historia para la relación entre el $\hat A$ -y la orientación Atiyah-Bott-Shapiro para las variedades de Spin. Sugieren otras etapas. Y la existencia, las herramientas de construcción y la perspectiva que aportan al tema han sido muy influyentes dentro de la teoría de la homotopía, por razones totalmente diferentes.

Espero que esto proporcione al menos un poco de motivación.

Answer 2

La TMF se ha utilizado para resolver problemas topológicos clásicos. Por ejemplo, Bruner, Davis y Mahowald obtuvieron nuevos resultados sobre las no inmersiones de los espacios proyectivos reales en el espacio euclidiano ( http://hopf.math.purdue.edu//Bruner-Davis-Mahowald/eo2.pdf ).

Un artículo muy interesante (aún no disponible) es el de Behrens, Hopkins, Hill y Mahowald:

Determinamos completamente la imagen del homomorfismo de Hurewicz para tmf. Sacamos ciertas conclusiones sobre qué dimensiones pueden contener esferas exóticas. En particular, las únicas dimensiones por debajo de 126 que no contienen esferas exóticas son 1,2,3,5, 6, 12, 61, y quizás 4.

Algunas diapositivas de una charla sobre esto están disponibles aquí: http://math.mit.edu/~mbehrens/presentaciones/esferas_exóticas.pdf

No sé si entra en la topología clásica, pero los cálculos de tmf se han utilizado para encontrar mínimos $v_2$ -mapas de sí mismo periódicas (por ejemplo http://math.mit.edu/~mbehrens/papers/v2_32.pdf ).

Sé que has preguntado por los problemas topológicos, pero me parece negligente no señalar que también hay conexiones con la teoría de números. Tal vez un buen punto de partida sea la dirección del ICM de Hopkins: http://arxiv.org/pdf/math/0212397v1.pdf

De la reseña de mathscinet:

El artículo describe cómo el estudio de tmf relaciona la fibración de Hopf con la función de Weierstrass, y conduce a la demostración de un teorema de Borcherds sobre congruencias para formas modulares que surgen de $\theta$ -funciones asociadas a los entramados. Discute la relación entre la tmf y la teoría de las formas p-ádicas de Serre y Katz. Explica que la tmf es el receptáculo natural del género Witten, insinuando una relación íntima y aún no comprendida con la teoría de cuerdas.

Otro artículo al que le tengo cariño es uno de Mark Behrens: http://math.mit.edu/~mbehrens/papers/betagt.pdf Asocia a cada generador aditivo de la línea 2 de la secuencia espectral de Adams-Novikov una determinada forma modular. Esto es similar a la conexión entre la imagen de J y los números de Bernoulli.

Estoy seguro de que sólo estoy arañando la superficie.